408: C∞ベクトルバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）がある

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があることの記述/証明

---

話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ランク$k$の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \text{ ランク }k\{\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }M\text{ のあるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆） }$
//

---

2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意のトリビアライジングオープンカバー（開被覆）$\{U_{\beta }|\beta \in B\}$を取る; ステップ2: 各$p\in U_{\beta }$に対して、あるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$U_{\beta ,p}$を取り、$\{U_{\beta ,p}|\beta \in B,p\in U_{\beta }\}$は$M$をカバーすることを見る; ステップ3: $\{U_{\beta ,p}|\beta \in B,p\in U_{\beta }\}$はリファイン（洗練）してローカルにファイナイト（有限）であるようにできる、もしもそう望むならば。

ステップ1:

あるトリビアライジングオープンカバー（開被覆）$\{U_{\beta }|\beta \in B\}$、ここで、$B$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義によって。

しかし、$U_{\beta }$は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではない、したがって、各構成要素がチャートオープンサブセット（開部分集合）であるようなあるトリビアライジングオープンカバー（開被覆）を見つける、それが、本命題の趣旨である。

ステップ2:

各$p\in U_{\beta }$に対して、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）、つまり、$U_{\beta ,p}$、つまり、$U_{\beta ,p}\subseteq U_{\beta }$、がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって。

$\{U_{\beta ,p}|\beta \in B,p\in U_{\beta }\}$は何らかの重複たちを持っているかもしれないが、そうした重複たちは自動的に抹消される、セット（集合）の定義によって。

$\{U_{\beta ,p}|\beta \in B,p\in U_{\beta }\}$は明らかに$M$をカバーする。

ステップ3:

本命題は既に証明された、しかし、もしも、当該オープンカバー（開被覆）がもっと小さくあるように望むのであれば、$\{U_{\beta ,p}|\beta \in B,p\in U_{\beta }\}$はリファイン（洗練）してローカルにファイナイト（有限）であるようにできる、なぜなら、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、はパラコンパクトである: 当該リファインメント（洗練）の各要素はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題および任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>