\(C^\infty\)ベクトルバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \text{ ランク } k \{\text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists M \text{ のあるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆） }\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のトリビアライジングオープンカバー（開被覆）\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\)を取る; ステップ2: 各\(p \in U_\beta\)に対して、あるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U_{\beta, p}\)を取り、\(\{U_{\beta, p} \vert \beta \in B, p \in U_\beta\}\)は\(M\)をカバーすることを見る; ステップ3: \(\{U_{\beta, p} \vert \beta \in B, p \in U_\beta\}\)はリファイン（洗練）してローカルにファイナイト（有限）であるようにできる、もしもそう望むならば。
ステップ1:
あるトリビアライジングオープンカバー（開被覆）\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\)、ここで、\(B\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義によって。
しかし、\(U_\beta\)は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではない、したがって、各構成要素がチャートオープンサブセット（開部分集合）であるようなあるトリビアライジングオープンカバー（開被覆）を見つける、それが、本命題の趣旨である。
ステップ2:
各\(p \in U_\beta\)に対して、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）、つまり、\(U_{\beta, p}\)、つまり、\(U_{\beta, p} \subseteq U_\beta\)、がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって。
\(\{U_{\beta, p} \vert \beta \in B, p \in U_\beta\}\)は何らかの重複たちを持っているかもしれないが、そうした重複たちは自動的に抹消される、セット（集合）の定義によって。
\(\{U_{\beta, p} \vert \beta \in B, p \in U_\beta\}\)は明らかに\(M\)をカバーする。
ステップ3:
本命題は既に証明された、しかし、もしも、当該オープンカバー（開被覆）がもっと小さくあるように望むのであれば、\(\{U_{\beta, p} \vert \beta \in B, p \in U_\beta\}\)はリファイン（洗練）してローカルにファイナイト（有限）であるようにできる、なぜなら、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、はパラコンパクトである: 当該リファインメント（洗練）の各要素はチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題および任意の\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。
