シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}\)
\(S_k\): \(\in \{C\text{ 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall S_j \in C \setminus \{S_k\} (S_k^\circ \cap S_j = \emptyset)\)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、\(V\)上の任意のシンプリシャルコンプレックス\(C\)、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）\(S_k \in C\)に対して、\(S_k\)のシンプレックス（単体）インテリア（内部）\(S_k^\circ\)は他のどのシンプレックス\(S_j \in C \setminus \{S_k\}\)とも交わらない、つまり、\(S_k^\circ \cap S_j = \emptyset\)。
3: 証明
\(S_k^\circ \cap S_j \neq \emptyset\)であると仮定しよう。
あるポイント\(p' \in S_k^\circ \cap S_j\)があることになる。\(p' \in S_k \cap S_j\)。\(S_k \cap S_j\)は、\(S_k\)のフェイスで\(p'\)を包含するものであるということになる。しかし、\(S_k\)の任意のプロパー（真）フェイスは\(p'\)を包含しないだろう、なぜなら、\(p' \in S_k^\circ\)。したがって、\(S_k \cap S_j = S_k\)、非プロパー（真）フェイス。\(S_k \cap S_j = S_k\)は\(S_j\)のフェイスでもあるが、\(S_k\)はマキシマル（極大）であるから、\(S_k\)は\(S_j\)の非プロパー（真）フェイス\(S_j\)であろう。したがって、\(S_k = S_j\)、\(S_j \neq S_k\)に反する矛盾。
