571: シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらない

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シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
• 読者は、シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$C$: $\in \{V\text{ 上の全てのシンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$S_k$: $\in \{C\text{ 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }{S}_j\in C\setminus \{S_k\}(S_k^{\circ }\cap S_j=\mathrm{\varnothing })$。
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$、$V$上の任意のシンプリシャルコンプレックス$C$、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）$S_k\in C$に対して、$S_k$のシンプレックス（単体）インテリア（内部）$S_k^{\circ }$は他のどのシンプレックス$S_j\in C\setminus \{S_k\}$とも交わらない、つまり、$S_k^{\circ }\cap S_j=\mathrm{\varnothing }$。

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3: 証明

$S_k^{\circ }\cap S_j\ne \mathrm{\varnothing }$であると仮定しよう。

あるポイント$p^{\prime }\in S_k^{\circ }\cap S_j$があることになる。$p^{\prime }\in S_k\cap S_j$。$S_k\cap S_j$は、$S_k$のフェイスで$p^{\prime }$を包含するものであるということになる。しかし、$S_k$の任意のプロパー（真）フェイスは$p^{\prime }$を包含しないだろう、なぜなら、$p^{\prime }\in S_k^{\circ }$。したがって、$S_k\cap S_j=S_k$、非プロパー（真）フェイス。$S_k\cap S_j=S_k$は$S_j$のフェイスでもあるが、$S_k$はマキシマル（極大）であるから、$S_k$は$S_j$の非プロパー（真）フェイス$S_j$であろう。したがって、$S_k=S_j$、$S_j\ne S_k$に反する矛盾。

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参考資料

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