2024年5月5日日曜日

572: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしもシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にない

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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしもシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にないことの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、任意のポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、当該シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、あるポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしも当該シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にないという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
V: ∈{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }
{p0,...,pn}: ⊆V, ∈{V 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）たち }
S: ={∑j∈{0,...,n}tjpj∈V|tj∈R,∑j∈{0,...,n}tj=1∧0≤tj}
p′: =∑j∈{0,...,n}t′jpj∈Sで、以下を満たすもの、つまり、∀j∈{0,...,n}(0<t′j)
p″: =∑j∈{0,...,n}t″jpj∈Sで、以下を満たすもの、つまり、∃j∈{0,...,n}(0=t″j)
//

ステートメント（言明）たち:
S∈{ 全てのアファインシンプレックス（単体）たち }
⟹
(
∃{p0′,...,pm′}⊆{p0,...,pn}({p0′,...,pm′}∈{V 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }∧S=[p0′,...,pm′])
∧
p′∈[p0′,...,pm′]∘
∧
 必ずしも以下ではない p″∈bou[p0′,...,pm′]
)。
//

2: 自然言語記述


任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）V、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）{p0,...,pn}⊆V、以下を満たす任意のポイントp′=∑j∈{0,...,n}t′jpj∈S、つまり、∀j∈{0,...,n}(0<t′j)、および以下を満たす任意のポイントp″=∑j∈{0,...,n}t″jpj∈S、つまり、∃j∈{0,...,n}(0=t″j)、に対して、もしも、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）S:={∑j∈{0,...,n}tjpj∈V|tj∈R,∑j∈{0,...,n}tj=1∧0≤tj}がアファインシンプレックス（単体）[p0′,...,pm′]、ここで、{p0′,...,pm′}⊆{p0,...,pn}は当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）、である時、p′∈[p0′,...,pm′]∘であるが、必ずしもp″∈bou[p0′,...,pm′]ではない。

3: 証明


V上の(m+1)個のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は、{∑j∈{1,...,m}uj(pj−p0)+p0∈V|∑j∈{1,...,m}uj≤1∧0≤uj}、ここで、p0は当該ベースポイントたちの内の任意の1つ、として表されることを見よう。∑j∈{0,...,m}ujpj=∑j∈{0,...,m}uj(pj−p0)+∑j∈{0,...,m}ujp0=∑j∈{1,...,m}uj(pj−p0)+p0。注意として、任意のpjをp0の代わりに取ることができる。当該ベースポイントたちのセット（集合）がアファインインディペンデント（独立）である時は、{p1−p0,...,pm−p0}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、その一方、そうでなければ、{p1−p0,...,pm−p0}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）でない。

Sはアファインシンプレックス（単体）である、それが意味するのは、S=[p0′,...,pm′]、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）によって、と仮定しよう。

p0′∈{p0,...,pn}であるところ、単に表現の単純さを目的として、p0′=p0であると仮定しよう: {p0,...,pn}のインデックスをつけ直すことを考えればよい。すると、S={∑j∈{1,...,m}uj(pj′−p0)+p0∈V|uj∈R,∑j∈{1,...,m}uj≤1∧0≤uj}である。

∑j∈{1,...,n}tj(pj−p0)+p0=∑j∈{1,...,m}uj(pj′−p0)+p0、それが意味するのは、∑j∈{1,...,n}tj(pj−p0)=∑j∈{1,...,m}uj(pj′−p0)。

tj=1と取る（不可避に、k≠jに対してtk=0）と、pj−p0=∑l∈{1,...,m}sjl(pl′−p0)、ここで、0≤sjlおよび∑l∈{1,...,m}sjl≤1。したがって、∑j∈{1,...,n}tj(pj−p0)=∑j∈{1,...,n}tj(∑l∈{1,...,m}sjl(pl′−p0))=∑l∈{1,...,m}∑j∈{1,...,n}(tjsjl(pl′−p0))。{p1′−p0,...,pm′−p0}はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、ul=∑j∈{1,...,n}(tjsjl)、ここで、あるk∈{1,...,n}に対してskl=1、ここで、sklは{s1l,...,snl}の最大: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）の"証明"を参照。

p′に対して、0≤sjl、skl=1、0<t′kであるから、0<ulである。

p″に対しては、1つの反例で十分である。V=R2、{p0,p1,p2}={((−1,0),(0,0),(1,0))}、p″=0p0+1p1+0p2としよう。{p0′,p1′}={(−1,0),(1,0)}がS=[p0′,p1′]を満たし、p″=1/2p0′+1/2p1′∉bou[p0′,p1′]である。

参考資料
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