リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしもシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）の定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスバウンダリー（境界）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、任意のポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、当該シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、あるポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしも当該シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\{p_0, ..., p_n\}\): \(\subseteq V\), \(\in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）たち }\}\)
\(S\): \(= \{\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)
\(p'\): \(= \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j p_j \in S\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall j \in \{0, ..., n\} (0 \lt t'^j)\)
\(p''\): \(= \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t''^j p_j \in S\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\exists j \in \{0, ..., n\} (0 = t''^j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\text{ 全てのアファインシンプレックス（単体）たち }\}\)
\(\implies\)
(
\(\exists \{p'_0, ..., p'_m\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\} (\{p'_0, ..., p'_m\} \in \{V\text{ 上のベースポイントたちの全てのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）たち }\} \land S = [p'_0, ..., p'_m])\)
\(\land\)
\(p' \in [p'_0, ..., p'_m]^\circ\)
\(\land\)
\(\text{ 必ずしも以下ではない } p'' \in bou [p'_0, ..., p'_m]\)
)。
//
2: 自然言語記述
任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、ベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）\(\{p_0, ..., p_n\} \subseteq V\)、以下を満たす任意のポイント\(p' = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t'^j p_j \in S \)、つまり、\(\forall j \in \{0, ..., n\} (0 \lt t'^j)\)、および以下を満たす任意のポイント\(p'' = \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t''^j p_j \in S\)、つまり、\(\exists j \in \{0, ..., n\} (0 = t''^j)\)、に対して、もしも、当該ベースポイントたちのセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）\(S := \{\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \in V \vert t^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j = 1 \land 0 \le t^j\}\)がアファインシンプレックス（単体）\([p'_0, ..., p'_m]\)、ここで、\(\{p'_0, ..., p'_m\} \subseteq \{p_0, ..., p_n\}\)は当該ベースポイントたちのあるアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）、である時、\(p' \in [p'_0, ..., p'_m]^\circ\)であるが、必ずしも\(p'' \in bou [p'_0, ..., p'_m]\)ではない。
3: 証明
\(V\)上の\((m + 1)\)個のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は、\(\{\sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p_j - p_0) + p_0 \in V \vert \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j \le 1 \land 0 \le u^j\}\)、ここで、\(p_0\)は当該ベースポイントたちの内の任意の1つ、として表されることを見よう。\(\sum_{j \in \{0, ..., m\}} u^j p_j = \sum_{j \in \{0, ..., m\}} u^j (p_j - p_0) + \sum_{j \in \{0, ..., m\}} u^j p_0 = \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p_j - p_0) + p_0\)。注意として、任意の\(p_j\)を\(p_0\)の代わりに取ることができる。当該ベースポイントたちのセット（集合）がアファインインディペンデント（独立）である時は、\(\{p_1 - p_0, ..., p_m - p_0\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、その一方、そうでなければ、\(\{p_1 - p_0, ..., p_m - p_0\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）でない。
\(S\)はアファインシンプレックス（単体）である、それが意味するのは、\(S = [p'_0, ..., p'_m]\)、リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）によって、と仮定しよう。
\(p'_0 \in \{p_0, ..., p_n\}\)であるところ、単に表現の単純さを目的として、\(p'_0 = p_0\)であると仮定しよう: \(\{p_0, ..., p_n\}\)のインデックスをつけ直すことを考えればよい。すると、\(S = \{\sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p_0) + p_0 \in V \vert u^j \in \mathbb{R}, \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j \le 1 \land 0 \le u^j\}\)である。
\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) + p_0 = \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p_0) + p_0\)、それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) = \sum_{j \in \{1, ..., m\}} u^j (p'_j - p_0)\)。
\(t^j = 1\)と取る（不可避に、\(k \neq j\)に対して\(t^k = 0\)）と、\(p_j - p_0 = \sum_{l \in \{1, ..., m\}} s_j^l (p'_l - p_0)\)、ここで、\(0 \le s_j^l\)および\(\sum_{l \in \{1, ..., m\}} s_j^l \le 1\)。したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (p_j - p_0) = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} t^j (\sum_{l \in \{1, ..., m\}} s_j^l (p'_l - p_0)) = \sum_{l \in \{1, ..., m\}} \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j s_j^l (p'_l - p_0))\)。\(\{p'_1 - p_0, ..., p'_m - p_0\}\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるから、\(u^l = \sum_{j \in \{1, ..., n\}} (t^j s_j^l)\)、ここで、ある\(k \in \{1, ..., n\}\)に対して\(s_k^l = 1\)、ここで、\(s_k^l\)は\(\{s_1^l, ..., s_n^l\}\)の最大: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）の"証明"を参照。
\(p'\)に対して、\(0 \le s_j^l\)、\(s_k^l = 1\)、\(0 \lt t'^k\)であるから、\(0 \lt u^l\)である。
\(p''\)に対しては、1つの反例で十分である。\(V = \mathbb{R}^2\)、\(\{p_0, p_1, p_2\} = \{((-1, 0), (0, 0), (1, 0))\}\)、\(p'' = 0 p_0 + 1 p_1 + 0 p_2\)としよう。\(\{p'_0, p'_1\} = \{(-1, 0), (1, 0)\}\)が\(S = [p'_0, p'_1]\)を満たし、\(p'' = 1 / 2 p'_0 + 1 / 2 p'_1 \notin bou [p'_0, p'_1]\)である。
