グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のサブグループ（部分群）の、ノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったもののノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明
話題
About: グループ
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループに対して、当該グループの任意のノーマルサブグループ（正規部分群）は、当該グループの任意のサブグループ（部分群）の、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったもののノーマルサブグループ（正規部分群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループたち }\}\)
\(G_1\): \(\in \{G \text{ の全てのサブグループたち }\}\)
\(G_2\): \(\in \{G \text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
//
\(G_2 \in \{G_1 G_2 \text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
\(\land\)
\(G_2 \in \{G_2 G_2 \text{ の全てのノーマルサブグループたち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ\(G\)、\(G\)の任意のサブグループ\(G_1\)、\(G\)の任意のノーマルサブグループ\(G_2\)に対して、\(G_2\)は\(G_1 G_2\)のノーマルサブグループであり、\(G_2\)は\(G_2 G_1\)のノーマルサブグループである。
3: 証明
\(G_1 G_2 \subseteq G\)および\(G_2 G_1 \subseteq G\)は本当に\(G\)のサブグループたちである、任意のグループに対して、当該グループ（群）の任意のサブグループ（部分群）の、当該グループ（群）の任意のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものは当該グループ（群）のサブグループ（部分群）であるという命題によって。
第1に、\(G_1 G_2\)のノーマルサブグループであることについて考えよう。
\(G_2 \subseteq G_1 G_2\)は明らかである。したがって、\(G_2\)は\(G_1 G_2\)のサブグループである。
任意の\(p \in G_1 G_2\)に対して、\(p G_2 p^{-1} \subseteq G_2\)、なぜなら、\(p \in G\)。したがって、\(G_2\)は\(G_1 G_2\)のノーマルサブグループである、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって。
\(G_2 G_1\)のノーマルサブグループであることについて考えよう。
\(G_2 \subseteq G_2 G_1\)は明らかである。したがって、\(G_2\)は\(G_2 G_1\)のサブグループである。
任意の\(p \in G_2 G_1\)に対して、\(p G_2 p^{-1} \subseteq G_2\)、なぜなら、\(p \in G\)。したがって、\(G_2\)は\(G_2 G_1\)のノーマルサブグループである、任意のグループ（群）、その任意のサブグループ（部分群）に対して、当該サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、当該グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、という命題によって。
