599: グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）である|T.B.P.日本語版

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であることの記述/証明

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 構造化された記述
2: 自然言語記述
3: 証明

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:

G

\in {全てのグループ（群）たち}

{G_{1}, . . ., G_{n}}

\subseteq {G の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち}

{G_{σ_{1}}, . . ., G_{σ_{n}}}

σ \in {(1, . . ., n) の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち}

{G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{l_{1}}}, . . ., G_{σ_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1}} . . . G_{σ_{n}}}

n = l_{1} + . . . + l_{k}

//

ステートメント（言明）たち:

G = {G_{1}, . . ., G_{n}} のダイレクトサム

⟹

G = {{G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{l_{1}}}, . . ., G_{σ_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1}} . . . G_{σ_{n}}} のダイレクトサム

である。
//

2: 自然言語記述

任意のグループ（群）

G

、

G

の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち

G_{1}, . . ., G_{n}

、つまり、

G

は

{G_{1}, . . ., G_{n}}

のダイレクトサムである、

{G_{σ_{1}}, . . ., G_{σ_{n}}}

、ここで、

σ

は

(1, . . ., n)

の任意のパーミュテーション（並べ替え）、任意の

{G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{l_{1}}}, . . ., G_{σ_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1}} . . . G_{σ_{n}}}

、ここで、

n = l_{1} + . . . + l_{k}

、に対して、

G

は

{G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{l_{1}}}, . . ., G_{σ_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1}} . . . G_{σ_{n}}}

のダイレクトサムである。

3: 証明

G

は

{G_{σ_{1}}, . . ., G_{σ_{n}}}

のダイレクトサムであることを見よう。

各

G_{σ_{j}} \in {G_{σ_{1}}, . . ., G_{σ_{n}}}

に対して、

σ_{j} = k \in {1, . . ., n}

、そして、

G_{σ_{j}} \cap (G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{j - 1}} \hat{G_{σ_{j}}} G_{σ_{j + 1}} . . . G_{σ_{n}}) = G_{k} \cap (G_{1} . . . G_{k - 1} \hat{G_{k}} G_{k + 1} . . . G_{n}) = {1}

、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって。

G = G_{1} . . . G_{n} = G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{n}}

、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって。

表記を簡単にするため、これ以降、

{G_{1} . . . G_{l_{1}}, . . ., G_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . G_{n}}

のことを考えよう、

{G_{σ_{1}} . . . G_{σ_{l_{1}}}, . . ., G_{σ_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1}} . . . G_{σ_{n}}}

の代わりに、なぜなら、私たちは既に、パーミュテーション（並べ替え）は何の問題も起こさないことを知っている。

G

は

{G_{1} . . . G_{l_{1}}, . . ., G_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . G_{n}}

のダイレクトサムであることを見よう。

各

G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}}

に対して、

S := G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}} \cap ((G_{1} . . . G_{l_{1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (G_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . G_{n})) = {1}

であることを見よう。

各

p \in S

に対して、

p = p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}} = (p_{1} . . . p_{l_{1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (p_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . p_{n})

、ここで、

p_{j} \in G_{j}

。

p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} = (p_{1} . . . p_{l_{1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (p_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . p_{n}) ({p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}}}^{- 1} . . . {p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2}}^{- 1}) \in G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} \cap ((G_{1} . . . G_{l_{1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (G_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . G_{n}) (G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2}) \subseteq G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} \cap G_{1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1}} \hat{G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1}} G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2} . . . G_{n}) = {1}

、それが含意するのは、

p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} = (p_{1} . . . p_{l_{1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (p_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . p_{n}) ({p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}}}^{- 1} . . . {p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2}}^{- 1}) = 1

。

p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2} = (p_{1} . . . p_{l_{1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (p_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . p_{n}) ({p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}}}^{- 1} . . . {p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 3}}^{- 1}) \in G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2} \cap ((G_{1} . . . G_{l_{1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (G_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . G_{n}) (G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 3})) \subseteq G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2} \cap (G_{1} . . . G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} \hat{G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2}} G_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 3} . . . G_{n}) = {1}

、それが含意するのは、

p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 2} = (p_{1} . . . p_{l_{1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \hat{(p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}})} (p_{l_{1} + . . . + l_{j} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j} + l_{j + 1}}) . . . (p_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . p_{n}) ({p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}}}^{- 1} . . . {p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 3}}^{- 1}) = 1

。

等々と続く。結局、

p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} = . . . = p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}} = 1

、したがって、

p = p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + 1} . . . p_{l_{1} + . . . + l_{j - 1} + l_{j}} = 1

。したがって、

S = {1}

。

G = G_{1} . . . G_{n} = (G_{1} . . . G_{l_{1}}) . . . (G_{l_{1} + . . . + l_{k - 1} + 1} . . . G_{n})

、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

バイアス惑星
定義たちと命題たち
学校数学をより高い視点から
わかりにくい用語や説明をひもとく
情報テーブル群
LibreOfficeまたはOpenOfficeを活用する
Javaプログラミング言語を暴く
C++を暴く
Pythonを暴く
C#を暴く
Gradleを暴く
Gitを暴く
UNOディスパッチコマンドたち

2024年6月30日日曜日

話題

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

オリエンテーション

本体

1: 構造化された記述

2: 自然言語記述

3: 証明

参考資料