グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(\{G_{\sigma_1}, ..., G_{\sigma_n}\}\): \(\sigma \in \{(1, ..., n) \text{ の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち }\}\)
\(\{G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{l_1}}, ..., G_{\sigma_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1}} ... G_{\sigma_n}\}\): \(n = l_1 + ... + l_k\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G = \{G_1, ..., G_n\} \text{ のダイレクトサム }\)
\(\implies\)
\(G = \{\{G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{l_1}}, ..., G_{\sigma_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1}} ... G_{\sigma_n}\} \text{ のダイレクトサム }\)である。
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、\(G\)の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち\(G_1, ..., G_n\)、つまり、\(G\)は\(\{G_1, ..., G_n\}\)のダイレクトサムである、\(\{G_{\sigma_1}, ..., G_{\sigma_n}\}\)、ここで、\(\sigma\)は\((1, ..., n)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）、任意の\(\{G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{l_1}}, ..., G_{\sigma_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1}} ... G_{\sigma_n}\}\)、ここで、\(n = l_1 + ... + l_k\)、に対して、\(G\)は\(\{G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{l_1}}, ..., G_{\sigma_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1}} ... G_{\sigma_n}\}\)のダイレクトサムである。
3: 証明
\(G\)は\(\{G_{\sigma_1}, ..., G_{\sigma_n}\}\)のダイレクトサムであることを見よう。
各\(G_{\sigma_j} \in \{G_{\sigma_1}, ... , G_{\sigma_n}\}\)に対して、\(\sigma_j = k \in \{1, ..., n\}\)、そして、\(G_{\sigma_j} \cap (G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{j - 1}} \hat{G_{\sigma_j}} G_{\sigma_{j + 1}} ... G_{\sigma_n}) = G_k \cap (G_1 ... G_{k - 1} \hat{G_k} G_{k + 1} ... G_n) = \{1\}\)、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって。
\(G = G_1 ... G_n = G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_n}\)、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって。
表記を簡単にするため、これ以降、\(\{G_1 ... G_{l_1}, ..., G_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... G_n\}\)のことを考えよう、\(\{G_{\sigma_1} ... G_{\sigma_{l_1}}, ..., G_{\sigma_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1}} ... G_{\sigma_n}\}\)の代わりに、なぜなら、私たちは既に、パーミュテーション（並べ替え）は何の問題も起こさないことを知っている。
\(G\)は\(\{G_1 ... G_{l_1}, ..., G_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... G_n\}\)のダイレクトサムであることを見よう。
各\(G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j}\)に対して、\(S := G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j} \cap ((G_1 ... G_{l_1}) ... (G_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (G_{l_1 + ... + l_j + 1} ... G_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (G_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... G_n)) = \{1\}\)であることを見よう。
各\(p \in S\)に対して、\(p = p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j} = (p_1 ... p_{l_1}) ... (p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (p_{l_1 + ... + l_j + 1} ... p_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (p_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... p_n)\)、ここで、\(p_j \in G_j\)。
\(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} = (p_1 ... p_{l_1}) ... (p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (p_{l_1 + ... + l_j + 1} ... p_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (p_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... p_n) ({p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j}}^{-1} ... {p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2}}^{-1}) \in G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} \cap ((G_1 ... G_{l_1}) ... (G_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (G_{l_1 + ... + l_j + 1} ... G_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (G_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... G_n) (G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2}) \subseteq G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} \cap G_1 ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1}} \widehat{G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1}} G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2} ... G_n) = \{1\}\)、それが含意するのは、\(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} = (p_1 ... p_{l_1}) ... (p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (p_{l_1 + ... + l_j + 1} ... p_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (p_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... p_n) ({p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j}}^{-1} ... {p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2}}^{-1}) = 1\)。
\(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2} = (p_1 ... p_{l_1}) ... (p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (p_{l_1 + ... + l_j + 1} ... p_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (p_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... p_n) ({p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j}}^{-1} ... {p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 3}}^{-1}) \in G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2} \cap ((G_1 ... G_{l_1}) ... (G_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (G_{l_1 + ... + l_j + 1} ... G_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (G_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... G_n) (G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j} ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 3})) \subseteq G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2} \cap (G_1 ... G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} \widehat{G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2}} G_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 3} ... G_n) = \{1\}\)、それが含意するのは、\(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 2} = (p_1 ... p_{l_1}) ... (p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 2} + l_{j - 1}}) \widehat{(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j})} (p_{l_1 + ... + l_j + 1} ... p_{l_1 + ... + l_j + l_{j + 1}}) ... (p_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... p_n) ({p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j}}^{-1} ... {p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 3}}^{-1}) = 1\)。
等々と続く。結局、\(p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} = ... = p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j} = 1\)、したがって、\(p = p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + 1} ... p_{l_1 + ... + l_{j - 1} + l_j} = 1\)。したがって、\(S = \{1\}\)。
\(G = G_1 ... G_n = (G_1 ... G_{l_1}) ... (G_{l_1 + ... + l_{k - 1} + 1} ... G_n)\)、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数サブグループ（部分群）たちのプロダクトはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって。
