600: グループ（群）、ファイナイト（有限）数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）である

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グループ（群）、ファイナイト（有限）数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしての定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）たちの任意のサブセット（部分集合）のプロダクトは、当該サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$\{G_1,...,G_n\}$: $\subseteq \{G\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G=\{G_1,...,G_n\}\text{ のダイレクトサム }$
$⟹$
$\mathrm{\forall }{p}_1...p_n=p_1^{\prime }...p_n^{\prime }\in G\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{p}_j,p_j^{\prime }\in G_j(p_j=p_j^{\prime }\wedge \mathrm{\forall }\sigma \in \{\{1,...,n\}\text{ の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち }\}(p_1...p_n=p_{{\sigma }_1}...p_{{\sigma }_n}))$。
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、$G$の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち$G_1,...,G_n$、つまり、$G$は$\{G_1,...,G_n\}$のダイレクトサムである、に対して、以下を満たす各$p_1...p_n\in G$、つまり、$p_j\in G_j$、に対して、$p_1...p_n$は当該要素のユニークなディコンポジション（分解）であり、$\{1,...,n\}$の各パーミュテーション（並べ替え）$\sigma$に対して、$p_1...p_n=p_{{\sigma }_1}...p_{{\sigma }_n}$である。

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3: 証明

$n$に関してインダクティブ（帰納的）に証明しよう。

$n=2$としよう。

$p_1{p}_2=p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }$であるから、${p_1}^{-1}{p}_1{p}_2{p_2^{\prime }}^{-1}={p_1}^{-1}{p}_1^{\prime }{p}_2^{\prime }{p_2^{\prime }}^{-1}$、したがって、$p_2{p_2^{\prime }}^{-1}={p_1}^{-1}{p}_1^{\prime }$、しかし、左辺は$G_2$内にあり右辺は$G_1$内にある、したがって、両辺は$G_1\cap G_2=\{1\}$内にある、したがって、$p_2{p_2^{\prime }}^{-1}={p_1}^{-1}{p}_1^{\prime }=1$、それが含意するのは、$p_1^{\prime }=p_1$および$p_2^{\prime }=p_2$。

各$p_2{p}_1\in G$に対して、ある$p_1^{\prime }\in G_1$およびある$p_2^{\prime }\in G_2$に対して、$p_2{p}_1=p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }$、なぜなら、$G=G_1{G}_2$。${p_2}^{-1}{p}_2{p}_1={p_2}^{-1}{p}_1^{\prime }{p}_2^{\prime }$、したがって、$p_1={p_2}^{-1}{p}_1^{\prime }{p}_2^{\prime }={p_2}^{-1}{p}_1^{\prime }{p}_2{p_2}^{-1}{p}_2^{\prime }=p_1^{″}{p_2}^{-1}{p}_2^{\prime }$ある$p_1^{″}\in G_1$に対して、なぜなら、$G_1$はノーマルサブグループ（正規部分群）である、しかし、当該ディコンポジション（分解）はユニークであるから、$p_{1}1=p_1^{″}{p_2}^{-1}{p}_2^{\prime }$は、${p_2}^{-1}{p}_2^{\prime }=1$を含意する、したがって、$p_2^{\prime }=p_2$。同様に、$p_2{p}_1{p_1}^{-1}=p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }{p_1}^{-1}$、したがって、$p_2=p_1^{\prime }{p}_2^{\prime }{p_1}^{-1}=p_1^{\prime }{p_1}^{-1}{p}_1{p}_2^{\prime }{p_1}^{-1}=p_1^{\prime }{p_1}^{-1}{p}_2^{″}$、ある$p_2^{″}\in G_2$に対して、しかし、ディコンポジション（分解）はユニークであるから、$1p_2=p_1^{\prime }{p_1}^{-1}{p}_2^{″}$は、$p_1^{\prime }{p_1}^{-1}=1$を含意する、したがって、$p_1^{\prime }=p_1$。したがって、$p_2{p}_1=p_1{p}_2$。

本命題は$n=n^{\prime }$まで成立すると仮定しよう。

$G$は$\{G_1,...,G_{n^{\prime }+1}\}$のダイレクトサムであると仮定しよう。

$G$は$\{G_1,G_2...G_{n^{\prime }+1}\}$のダイレクトサムである、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題によって。

各$p=p_1...p_{n^{\prime }+1}=p_1^{\prime }...p_{n^{\prime }+1}^{\prime }$に対して、$p=p_1(p_2...p_{n^{\prime }+1})=p_1^{\prime }(p_2^{\prime }...p_{n^{\prime }+1}^{\prime })$、ここで、$p_2...p_{n^{\prime }+1},p_2^{\prime }...p_{n^{\prime }+1}^{\prime }\in G_2...G_{n^{\prime }+1}$、したがって、$p_1=p_1^{\prime }$および$p_2...p_{n^{\prime }+1}=p_2^{\prime }...p_{n^{\prime }+1}^{\prime }$、本命題を$n=2$に対して適用することによって。

$G_2...G_{n^{\prime }+1}$は$\{G_2,...,G_{n^{\prime }+1}\}$のダイレクトサムである、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）たちの任意のサブセット（部分集合）のプロダクトは、当該サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題によって。したがって、本命題を$n=n^{\prime }$に対して適用することによって、各$2\le j\le n^{\prime }+1$に対して$p_j=p_j^{\prime }$。

したがって、各$1\le j\le n^{\prime }+1$に対して$p_j=p_j^{\prime }$。

各$\sigma$に対して、${\sigma }_1=1$である時、$p_1...p_{n^{\prime }+1}=p_{{\sigma }_1}...p_{{\sigma }_{n^{\prime }+1}}$、本命題を$n=n^{\prime }$に対して適用することによって; ${\sigma }_1\ne 1$である時、ある$2\le k\le n^{\prime }+1$に対して${\sigma }_1=k$、そして、$p_1...p_{n^{\prime }+1}=p_1(p_2...p_{n^{\prime }+1})=(p_2...p_{n^{\prime }+1})p_1=p_2(p_3...p_{n^{\prime }+1}{p}_1)=(p_3...p_{n^{\prime }+1}{p}_1)p_2=...=p_k{p}_{k+1}...p_{n^{\prime }+1}{p}_1...p_{k-1}=p_{{\sigma }_1}{p}_{k+1}...p_{n^{\prime }+1}{p}_1...p_{k-1}=p_{{\sigma }_1}...p_{{\sigma }_{n^{\prime }+1}}$、ここで、最後の前までのイコールたちは本命題を$n=2$に対して適用することによるものであり、最後のイコールは本命題を$n=n^{\prime }$に対して適用することによるものである。

したがって、本命題は、各$2\le n$に対して成立する。

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参考資料

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