グループ（群）、ファイナイト（有限）数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしての定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）たちの任意のサブセット（部分集合）のプロダクトは、当該サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G = \{G_1, ..., G_n\} \text{ のダイレクトサム }\)
\(\implies\)
\(\forall p_1 ... p_n = p'_1 ... p'_n \in G \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } p_j, p'_j \in G_j (p_j = p'_j \land \forall \sigma \in \{\{1, ..., n\} \text{ の全てのパーミュテーション（並べ替え）たち }\} (p_1 ... p_n = p_{\sigma_1} ... p_{\sigma_n}))\)。
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、\(G\)の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち\(G_1, ..., G_n\)、つまり、\(G\)は\(\{G_1, ..., G_n\}\)のダイレクトサムである、に対して、以下を満たす各\(p_1 ... p_n \in G\)、つまり、\(p_j \in G_j\)、に対して、\(p_1 ... p_n\)は当該要素のユニークなディコンポジション（分解）であり、\(\{1, ..., n\}\)の各パーミュテーション（並べ替え）\(\sigma\)に対して、\(p_1 ... p_n = p_{\sigma_1} ... p_{\sigma_n}\)である。
3: 証明
\(n\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明しよう。
\(n = 2\)としよう。
\(p_1 p_2 = p'_1 p'_2\)であるから、\({p_1}^{-1} p_1 p_2 {p'_2}^{-1} = {p_1}^{-1} p'_1 p'_2 {p'_2}^{-1}\)、したがって、\(p_2 {p'_2}^{-1} = {p_1}^{-1} p'_1\)、しかし、左辺は\(G_2\)内にあり右辺は\(G_1\)内にある、したがって、両辺は\(G_1 \cap G_2 = \{1\}\)内にある、したがって、\(p_2 {p'_2}^{-1} = {p_1}^{-1} p'_1 = 1\)、それが含意するのは、\(p'_1 = p_1\)および\(p'_2 = p_2\)。
各\(p_2 p_1 \in G\)に対して、ある\(p'_1 \in G_1\)およびある\(p'_2 \in G_2\)に対して、\(p_2 p_1 = p'_1 p'_2\)、なぜなら、\(G = G_1 G_2\)。\({p_2}^{-1} p_2 p_1 = {p_2}^{-1} p'_1 p'_2\)、したがって、\(p_1 = {p_2}^{-1} p'_1 p'_2 = {p_2}^{-1} p'_1 p_2 {p_2}^{-1} p'_2 = p''_1 {p_2}^{-1} p'_2\)ある\(p''_1 \in G_1\)に対して、なぜなら、\(G_1\)はノーマルサブグループ（正規部分群）である、しかし、当該ディコンポジション（分解）はユニークであるから、\(p_1 1 = p''_1 {p_2}^{-1} p'_2\)は、\({p_2}^{-1} p'_2 = 1\)を含意する、したがって、\(p'_2 = p_2\)。同様に、\(p_2 p_1 {p_1}^{-1} = p'_1 p'_2 {p_1}^{-1}\)、したがって、\(p_2 = p'_1 p'_2 {p_1}^{-1} = p'_1 {p_1}^{-1} p_1 p'_2 {p_1}^{-1} = p'_1 {p_1}^{-1} p''_2\)、ある\(p''_2 \in G_2\)に対して、しかし、ディコンポジション（分解）はユニークであるから、\(1 p_2 = p'_1 {p_1}^{-1} p''_2\)は、\(p'_1 {p_1}^{-1} = 1\)を含意する、したがって、\(p'_1 = p_1\)。したがって、\(p_2 p_1 = p_1 p_2\)。
本命題は\(n = n'\)まで成立すると仮定しよう。
\(G\)は\(\{G_1, ..., G_{n' + 1}\}\)のダイレクトサムであると仮定しよう。
\(G\)は\(\{G_1, G_2 ... G_{n' + 1}\}\)のダイレクトサムである、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題によって。
各\(p = p_1 ... p_{n' + 1} = p'_1 ... p'_{n' + 1}\)に対して、\(p = p_1 (p_2 ... p_{n' + 1}) = p'_1 (p'_2 ... p'_{n' + 1})\)、ここで、\(p_2 ... p_{n' + 1}, p'_2 ... p'_{n' + 1} \in G_2 ... G_{n' + 1}\)、したがって、\(p_1 = p'_1\)および\(p_2 ... p_{n' + 1} = p'_2 ... p'_{n' + 1}\)、本命題を\(n = 2\)に対して適用することによって。
\(G_2 ... G_{n' + 1}\)は\(\{G_2, ... , G_{n' + 1}\}\)のダイレクトサムである、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）たちの任意のサブセット（部分集合）のプロダクトは、当該サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題によって。したがって、本命題を\(n = n'\)に対して適用することによって、各\(2 \le j \le n' + 1\)に対して\(p_j = p'_j\)。
したがって、各\(1 \le j \le n' + 1\)に対して\(p_j = p'_j\)。
各\(\sigma\)に対して、\(\sigma_1 = 1\)である時、\(p_1 ... p_{n' + 1} = p_{\sigma_1} ... p_{\sigma_{n' + 1}}\)、本命題を\(n = n'\)に対して適用することによって; \(\sigma_1 \neq 1\)である時、ある\(2 \le k \le n' + 1\)に対して\(\sigma_1 = k\)、そして、\(p_1 ... p_{n' + 1} = p_1 (p_2 ... p_{n' + 1}) = (p_2 ... p_{n' + 1}) p_1 = p_2 (p_3 ... p_{n' + 1} p_1) = (p_3 ... p_{n' + 1} p_1) p_2 = ... = p_k p_{k + 1} ... p_{n' + 1} p_1 ... p_{k - 1} = p_{\sigma_1} p_{k + 1} ... p_{n' + 1} p_1 ... p_{k - 1} = p_{\sigma_1} ... p_{\sigma_{n' + 1}}\)、ここで、最後の前までのイコールたちは本命題を\(n = 2\)に対して適用することによるものであり、最後のイコールは本命題を\(n = n'\)に対して適用することによるものである。
したがって、本命題は、各\(2 \le n\)に対して成立する。
