622: シンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックスの要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちのサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は、サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスである

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シンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックスの要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちのサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は、サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスであることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスを知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義を知っている。
• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意の2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は当該シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）、その任意のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、当該バリセンター（重心）たちのセット（集合）の任意のサブセット（部分集合）の任意のコンベックスコンビネーションは、当該アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、当該コンプレックスの任意の要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちの任意のサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちの空でないインターセクション（共通集合）は、当該サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全てのリアル（実）ベクトルたちスペースたち }\}$
$C$: $\in \{V\text{ 上の全てのアファインコンプレックスたち }\}$
$[q_0,...,q_m]$: $\in C$
$(b_0,...,b_n)$: $=(bary([p_{{\sigma }_0}]),bary([p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}]),...,bary([p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}]))$, $\in \{[p_0,...,p_n]\text{ のフェイスたちのバリセンター（重心）たちの全てのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たち }\}$
$(c_0,...,c_m)$: $=(bary([q_{{\rho }_0}]),bary([q_{{\rho }_0},q_{{\rho }_1}]),...,bary([q_{{\rho }_0},...,q_{{\rho }_m}]))$, $\in \{[q_0,...,q_m]\text{ のフェイスたちのバリセンター（重心）たちの全てのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たち }\}$
$[b_{k_0},...,b_{k_l}]$: $\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\subseteq \{b_0,...,b_n\}$
$[c_{i_0},...,c_{i_r}]$: $\{c_{i_0},...,c_{i_r}\}\subseteq \{c_0,...,c_m\}$
$S$: $=[b_{k_0},...,b_{k_l}]\cap [c_{i_0},...,c_{i_r}]$
//

ステートメント（言明）たち:
$S\ne \mathrm{\varnothing }$
$⟹$
$S=[\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\cap \{c_{i_0},...,c_{i_r}\}]$.
//

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2: 自然言語記述

任意のリアル（実）ベクトルたちスペース$V$、$V$上の任意のアファインコンプレックス$C$、任意の要素たち$[p_0,...,p_n],[q_0,...,q_m]\in C$、のフェイスたちのバリセンター（重心）たちの任意のアセンディング（昇順）シーケンス（列）たち$[p_0,...,p_n]$および$[q_0,...,q_m]$、$(b_0,...,b_n):=(bary([p_{{\sigma }_0}]),bary([p_{{\sigma }_0},p_{{\sigma }_1}]),...,bary([p_{{\sigma }_0},...,p_{{\sigma }_n}]))$および$(c_0,...,c_m):=(bary([q_{{\rho }_0}]),bary([q_{{\rho }_0},q_{{\rho }_1}]),...,bary([q_{{\rho }_0},...,q_{{\rho }_m}]))$、任意のサブシーケンスたちによって決定されるアファインシンプレックスたち$[b_{k_0},...,b_{k_l}]$、ここで、$\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\subseteq \{b_0,...,b_n\}$、および$[c_{i_0},...,c_{i_r}]$、ここで、$\{c_{i_0},...,c_{i_r}\}\subseteq \{c_0,...,c_m\}$、$S=[b_{k_0},...,b_{k_l}]\cap [c_{i_0},...,c_{i_r}]$に対して、もしも、$S\ne \mathrm{\varnothing }$である場合、$S=[\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\cap \{c_{i_0},...,c_{i_r}\}]$。

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3: 証明

$[p_0,...,p_n]\cap [q_0,...,q_m]$は$[p_0,...,p_n]$のあるフェイスであり、$[q_0,...,q_m]$のあるフェイスである。一般性を失うことなく（$[p_0,...,p_n]$および$[q_0,...,q_m]$のバーテックス（頂点）たちのインデックスを付け替え、パーミュテーション（並べ替え）たち$\sigma$および$\rho$をそれに従って変えればよい）、$[p_0,...,p_n]\cap [q_0,...,q_m]=[p_0,...,p_s]$および$[q_0,...,q_m]=[p_0,...,p_s,q_{s+1},...,q_m]$（任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意の2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は当該シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスであるという命題を参照のこと）としよう。

$[b_{k_0},...,b_{k_l}]\subseteq [p_0,...,p_n]$および$[c_{i_0},...,c_{i_r}]\subseteq [q_0,...,q_m]$、任意のアファインシンプレックス（単体）、その任意のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、当該バリセンター（重心）たちのセット（集合）の任意のサブセット（部分集合）の任意のコンベックスコンビネーションは、当該アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであるという命題によって。したがって、$S=[b_{k_0},...,b_{k_l}]\cap [c_{i_0},...,c_{i_r}]\subseteq [p_0,...,p_n]\cap [q_0,...,q_m]=[p_0,...,p_s]$。

$p\in S$を任意のものとしよう。$p=\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j{b}_{k_j}=\sum _{j\in \{0,...,r\}}{u}^j{c}_{i_j}$、ここで、$\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j=1$および$0\le t^j$および$\sum _{j\in \{0,...,r\}}{u}^j=1$および$0\le u^j$。

これ以降、私たちは、ふんだんに任意のアファインシンプレックス（単体）、その任意のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、当該フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、当該バリセンター（重心）たちのセット（集合）の任意のサブセット（部分集合）の任意のコンベックスコンビネーションは、当該アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであるという命題を$p$に対して用いる: $p$は$\{p_0,...,p_n\}$または$\{q_0,...,q_m\}$に関するコンベックスコンビネーションである、それが含意するのは、$\{p_0,...,p_n\}$または$\{q_0,...,q_m\}$に関する表現に対して、係数たちはユニークに決定されるということ。"$\{p_0,...,p_n\}$または$\{q_0,...,q_m\}$"と言ったが、実のところ、共通の$\{p_0,...,p_s\}\subseteq \{p_0,...,p_n\},\{q_0,...,q_m\}$のみが実際に現われる、次パラグラフ内で証明されるとおり。

$0<t^a$であるところでは、$b_{k_a}$は$[p_0,...,p_s]$のあるフェイスのバリセンター（重心）である、なぜなら、そうでなければ、$p$の$\{p_0,...,p_n\}$に関する表現は、$s<t$である$p_t$を含むことになる（当該フェイスが$p_t$を含むと仮定すると、任意のバリセンター（重心）は当該バーテックス（頂点）たちのポジティブ（正）マルチプル（積）たちを取り、$t^j$たちは全てのノンネガティブ（非負）なので、$p_t$の係数は決して消えない）、それが意味するのは、$p\notin [p_0,...,p_s]$、矛盾。同様に、$0<u^a$であるところでは、$c_{i_a}$は$[p_0,...,p_s]$のあるフェイスのバリセンター（重心）である。

実効上$p$内にある（それらの係数たちはノンゼロ（非ゼロ））バリセンター（重心）たちのみを見よう: サブセット（部分集合）$\{b_0^{\prime },...,b_a^{\prime }\}=\{b_{k_j}\in \{b_{k_0},...,b_{k_l}\}|0<t^j\}$およびサブセット（部分集合）$\{c_0^{\prime },...,c_b^{\prime }\}=\{c_{i_j}\in \{c_{i_0},...,c_{i_r}\}|0<u^j\}$を取ろう。

以下の事実たちに注目しよう: $\{b_0^{\prime },...,b_a^{\prime }\}$または$\{c_0^{\prime },...,c_b^{\prime }\}$はフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）から派生したものなので、もしも、任意のバーテックス（頂点）$p_g$がある$b_h^{\prime }$または$c_h^{\prime }$内に初めて現われたら、$p_g$はそれに引き続く全ての$b_{h+1}^{\prime },...,b_a^{\prime }$または$c_{h+1}^{\prime },...,c_b^{\prime }$に現われ続ける; もしも、任意の2バーテックス（頂点）たち$p_f,p_g$が同じ$b_h^{\prime }$または$c_h^{\prime }$内に初めて現われたら、$p_f$の係数と$p_g$の係数は同じである（$p_f$および$p_g$は常に$1/d(...+p_f+...+p_g+...)$の形で現われる）; もしも、任意のバーテックス（頂点）$p_f$が任意のバーテックス（頂点）$p_g$より先に現われたら、$p_f$の係数は$p_g$の係数よりも大きい（$p_g$が現われた後は、$p_f$と$p_g$は常に$1/d(...+p_f+...+p_g+...)$の形で現われるが、$p_f$だけを含む、より前の項たちが残っている。

もしも、$b_0^{\prime }\ne c_0^{\prime }$であったら、$b_0^{\prime }$内にいるが$c_0^{\prime }$内にはいないある$p_f$があることになる、一般性を失うことなく。すると、$p_f$は、後の$c_j^{\prime }$内に現われないといけないことにあるが、それは不可能である、前パラグラフ内の観察によって: もしも、ある共通のバーテックス（頂点）$p_g$が$b_0^{\prime }$および$c_0^{\prime }$内にあれば、$\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j{b}_{k_j}$に対して、$p_f$と$p_g$は同じ係数を持つだろう、しかし、$\sum _{j\in \{0,...,r\}}{u}^j{c}_{i_j}$に対しては、$p_f$と$p_g$は異なる係数たちを持つだろう、不可能; もしも、$b_0^{\prime }$と$c_0^{\prime }$内に共通のバーテックス（頂点）がなければ、$c_0^{\prime }$内にはいるが$b_0^{\prime }$内にはいないある$p_g$があるだろう（なぜなら、$c_0^{\prime }$は少なくとも1つのバーテックス（頂点）を持つ）、すると、$p_g$は、後の$b_j^{\prime }$内に現われなければならないことになる、しかし、それは、$\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j{b}_{k_j}$に対しては、$p_f$は$p_g$よりも大きな係数を持ち、その一方、$\sum _{j\in \{0,...,r\}}{u}^j{c}_{i_j}$に対しては、$p_f$は$p_g$よりも小さな係数を持つことになる、不可能。したがって、$b_0^{\prime }=c_0^{\prime }$。

同様に、$b_1^{\prime }=c_1^{\prime }$、なぜなら、それは、$b_0^{\prime }=c_0^{\prime }$へいくつかのバーテックス（頂点）たちを追加するという問題であり、$b_1^{\prime }$と$c_1^{\prime }$がバーテックス（頂点）たちの同じセット（集合）を得なければ、矛盾が起こることになるだろう。等々と続く。したがって、$b_j^{\prime }=c_j^{\prime }$、$j$が$a$と$b$の小さい方に達するまで。実のところ、$a=b$、なぜなら、もしも、$a<b$であったら、あるバーテックス（頂点）が$\sum _{j\in \{0,...,r\}}{u}^j{c}_{i_j}$内だけに現われるであろうし、もしも、$b<a$であったら、あるバーテックス（頂点）が$\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j{b}_{k_j}$内だけに現われるであろう、不可能。

それが意味するのは、$p=\sum _{j\in \{0,...,l\}}{t}^j{b}_{k_j}$、ここで、$0<t^j$、に対して、$b_{k_j}\in \{c_{j_0},...,c_{j_r}\}$。したがって、$S\subseteq [\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\cap \{c_{k_0},...,c_{k_r}\}]$。

他方、$[\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\cap \{c_{k_0},...,c_{k_r}\}]\subseteq S$、なぜなら、左辺は$[b_{k_0},...,b_{k_l}]$のあるフェイスおよび$[c_{k_0},...,c_{k_r}]$のあるフェイスである、それが意味するのは、左辺は$[b_{k_0},...,b_{k_l}]$内に包含されており、$[c_{k_0},...,c_{k_r}]$内の包含されている、したがって、インターセクション（共通集合）内に包含されている。

したがって、$S=[\{b_{k_0},...,b_{k_l}\}\cap \{c_{k_0},...,c_{k_r}\}]$。

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4: 注

本命題は、任意のシンプリシャルコンプレックスのバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割）は本当にシンプリシャルコンプレックスであることを証明するのに使われる。

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参考資料

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