グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、はサブグループ（部分群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしての定義を知っている。
- 読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 任意のグループ（群）で任意の有限数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムであるものは、当該サブグループたちのダイレクトプロダクト へ'グループたち - ホモモーフィズム（準同形写像）'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(f\): \(: G \to G_1 \times ... \times G_n, p_1 ... p_n \mapsto (p_1, ..., p_n)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G = \{G_1, ..., G_n\} \text{ のダイレクトサム }\)
\(\implies\)
\(f\)によって\(G \cong G_1 \times ... \times G_n\)、ここで、\(\cong\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を表わし\(\times\)はダイレクトサムを表わす。
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、\(G\)の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち\(G_1, ..., G_n\)、つまり、\(G\)は\(\{G_1, ..., G_n\}\)のダイレクトサムである、に対して、\(G\)は、ダイレクトプロダクト\(G_1 \times ... \times G_n\)へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。
3: 注
\(G\)は勿論、\(G_1 \times ... \times G_n\)と同じではない、なぜなら、\(G\)のある要素は\(p_1 ... p_n\)である一方、\(G_1 \times ... \times G_n\)の任意の要素は\((p_1, ..., p_n)\)の形をとる。
\(G\)はアーベリアンである必要はない、なぜなら、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題はそう要求しない。
しかし、\(G\)がアーベリアンである時は、ダイレクトプロダクトは'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'とも呼ばれる: 任意のアーベリアングループ（群）はモジュール（加群）である。
4: 証明
\(G\)の各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）できる、ある\(p_j \in G_j\)に対して\(p_1 ... p_n\)として、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題によって。したがって、\\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、各\(p_1 ... p_n \neq p'_1 ... p'_n \in G\)に対して、\(j\)に対して\(p_j \neq p'_j\)、それが含意するのは、\((p_1, ..., p_n) \neq (p'_1, ..., p'_n)\); 各\((p_1, ..., p_n) \in G_1 \times ... \times G_n\)に対して、\(p_1 ... p_n\)があり、それは、\((p_1, ..., p_n)\)へマップされる。
\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。\(f (1 ... 1) = (1, ..., 1)\)、それは、\(G_1 \times ... \times G_n\)のアイデンティティ（単位）要素である。以下の変形たちは、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題によるコミュータティビティ（可換性）をふんだんに用いる、これ以降それに言及することなく: \(p'_1\)を移動する、以下によって、つまり、\(f (p_1 ... p_n p'_1 ... p'_n) = f (p_1 (p_2 ... p_n p'_1) p'_2 ... p'_n) = f (p_1 (p'_1 p_2 ... p_n) p'_2 ... p'_n)\); 次に、\(p'_2\)を同様に移動する、\(= f (p_1 p'_1 p_2 p'_2 p_3 ... p_n p'_3 ... p'_n)\)のように; 等々と続く、結局、\(= f (p_1 p'_1 ... p_n p'_n)\)。したがって、\(= (p_1 p'_1, ..., p_n p'_n) = (p_1, ..., p_n) (p'_1, ..., p'_n) = f (p_1 ... p_n) f (p'_1 ... p'_n)\)。\(f ((p_1 ... p_n)^{-1}) = f (p_n^{-1} ... p_1^{-1}) = f (p_1^{-1} ... p_n^{-1})\)（任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題によって）\(= (p_1^{-1}, ..., p_n^{-1}) = f (p_1 ... p_n)^{-1}\)。したがって、\(f\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。
\(f\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
