604: グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、はサブグループ（部分群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、はサブグループ（部分群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしての定義を知っている。
• 読者は、ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 任意のグループ（群）で任意の有限数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムであるものは、当該サブグループたちのダイレクトプロダクト へ'グループたち - ホモモーフィズム（準同形写像）'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$\{G_1,...,G_n\}$: $\subseteq \{G\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
$f$: $:G\to G_1\times ...\times G_n,p_1...p_n\mapsto (p_1,...,p_n)$
//

ステートメント（言明）たち:
$G=\{G_1,...,G_n\}\text{ のダイレクトサム }$
$⟹$
$f$によって$G\cong G_1\times ...\times G_n$、ここで、$\cong$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を表わし$\times$はダイレクトサムを表わす。
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、$G$の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち$G_1,...,G_n$、つまり、$G$は$\{G_1,...,G_n\}$のダイレクトサムである、に対して、$G$は、ダイレクトプロダクト$G_1\times ...\times G_n$へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である。

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3: 注

$G$は勿論、$G_1\times ...\times G_n$と同じではない、なぜなら、$G$のある要素は$p_1...p_n$である一方、$G_1\times ...\times G_n$の任意の要素は$(p_1,...,p_n)$の形をとる。

$G$はアーベリアンである必要はない、なぜなら、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題はそう要求しない。

しかし、$G$がアーベリアンである時は、ダイレクトプロダクトは'モジュール（加群）たちのダイレクトサム'とも呼ばれる: 任意のアーベリアングループ（群）はモジュール（加群）である。

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4: 証明

$G$の各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）できる、ある$p_j\in G_j$に対して$p_1...p_n$として、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題によって。したがって、\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。

$f$はバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、各$p_1...p_n\ne p_1^{\prime }...p_n^{\prime }\in G$に対して、$j$に対して$p_j\ne p_j^{\prime }$、それが含意するのは、$(p_1,...,p_n)\ne (p_1^{\prime },...,p_n^{\prime })$; 各$(p_1,...,p_n)\in G_1\times ...\times G_n$に対して、$p_1...p_n$があり、それは、$(p_1,...,p_n)$へマップされる。

$f$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを証明しよう。$f(1...1)=(1,...,1)$、それは、$G_1\times ...\times G_n$のアイデンティティ（単位）要素である。以下の変形たちは、任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題によるコミュータティビティ（可換性）をふんだんに用いる、これ以降それに言及することなく: $p_1^{\prime }$を移動する、以下によって、つまり、$f(p_1...p_n{p}_1^{\prime }...p_n^{\prime })=f(p_1(p_2...p_n{p}_1^{\prime })p_2^{\prime }...p_n^{\prime })=f(p_1(p_1^{\prime }{p}_2...p_n)p_2^{\prime }...p_n^{\prime })$; 次に、$p_2^{\prime }$を同様に移動する、$=f(p_1{p}_1^{\prime }{p}_2{p}_2^{\prime }{p}_3...p_n{p}_3^{\prime }...p_n^{\prime })$のように; 等々と続く、結局、$=f(p_1{p}_1^{\prime }...p_n{p}_n^{\prime })$。したがって、$=(p_1{p}_1^{\prime },...,p_n{p}_n^{\prime })=(p_1,...,p_n)(p_1^{\prime },...,p_n^{\prime })=f(p_1...p_n)f(p_1^{\prime }...p_n^{\prime })$。$f((p_1...p_n{)}^{-1})=f(p_n^{-1}...p_1^{-1})=f(p_1^{-1}...p_n^{-1})$（任意のグループ（群）、任意のファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、各要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、当該ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であるという命題によって）$=(p_1^{-1},...,p_n^{-1})=f(p_1...p_n{)}^{-1}$。したがって、$f$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である。

$f$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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