658: コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、もしも、各要素たちペアが最大共通ディバイザー（因子）を持つ場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は最大共通ディバイザー（因子）を持つ、それは、逐次的に得ることができる

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コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、もしも、各要素たちペアが最大共通ディバイザー（因子）を持つ場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は最大共通ディバイザー（因子）を持つ、それは、逐次的に得ることができることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を知っている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、もしも、各要素たちペアがある最大共通ディバイザー（因子）を持つ場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はある最大共通ディバイザー（因子）を持つ、それは、逐次的に得ることができるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }\{p_1,p_2\}\subseteq R(gcd(\{p_1,p_2\})\ne \mathrm{\varnothing })$
$⟹$
(
$\mathrm{\forall }S=\{p_1,...,p_n\}\in \{R\text{ の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たち }\}(gcd(S)\ne \mathrm{\varnothing })$
$\wedge$
$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})\subseteq gcd(\{p_1,...,p_n\})$
)
//

$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})\subseteq gcd(\{p_1,...,p_n\})$が意味するのは、もしも、$\{p_{n-1},p_n\}$のある最大共通ディバイザー（因子）を$d_{n-1}$として取れば、次には、$\{p_{n-2},d_{n-1}\}$のある最大共通ディバイザー（因子）を$d_{n-2}$として取る、次には、 ...、等々と続く、すると、$\{p_1,d_2\}$の最大共通ディバイザー（因子）は、$S$の最大共通ディバイザー（因子）である、ということ。

本命題は、$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})=gcd(\{p_1,...,p_n\})$を主張しない、しかし、$R$がインテグラルドメイン（整域）である時は、それは成立する、なぜなら、ある$d\in gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})$がある一方、各$d^{\prime }\in gcd(\{p_1,...,p_n\})$に対して、$d^{\prime }=ud$、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって、そして、$d^{\prime }\in gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})$、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって。

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2: 自然言語記述

任意のコミュータティブ（可換）リング（環）$R$に対して、もしも、各$\{p_1,p_2\}\subseteq R$に対して、$gcd(\{p_1,p_2\})\ne \mathrm{\varnothing })$である場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）$S=\{p_1,...,p_n\}\subseteq R$に対して、$gcd(S)\ne \mathrm{\varnothing }$、そして、$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})\subseteq gcd(\{p_1,...,p_n\})$。

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3: 注

本命題は、$R$が最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであるとは仮定しない（$R$は、非インテグラルドメイン（整域）であり得る）、しかし、$R$がインテグラルドメイン（整域）である時は、$R$は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインである、そして、本命題は任意の最大共通ディバイザー（因子）たちドメインに対して成立する。

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4: 証明

$n$に関してインダクティブ（帰納的）に証明しよう。

$n=2$に対して、それは明らかに成立する。

それは$n=n^{\prime }$まで成立すると仮定しよう。

$S=\{p_1,...,p_{n^{\prime }+1}\}$のことを考えよう。

ある$d\in gcd(\{p_2,...,p_{n^{\prime }+1}\})$がある。各$j\in \{2,...,n^{\prime }+1\}$に対して$p_j=q_{j}d$である。

ある$d^{\prime }\in gcd(\{g_1,d\})$がある。$p_1=q_1^{\prime }{d}^{\prime }$および$d=q^{\prime }{d}^{\prime }$。

$j\in \{2,...,n^{\prime }+1\}$に対して$p_j=q_j{q}^{\prime }{d}^{\prime }$。したがって、$d^{\prime }$は$S=\{p_1,...,p_{n^{\prime }+1}\}$のある共通ディバイザー（因子）である。

$d^{″}$を$S$の任意の共通ディバイザー（因子）としよう。$p_1=q_1^{″}{d}^{″}$および、各$j\in \{2,...,n^{\prime }+1\}$に対して$p_j=q_j^{″}{d}^{″}$。$d^{″}$は$\{p_2,...,p_{n^{\prime }+1}\}$のある共通ディバイザー（因子）である。したがって、$d=q^{″}{d}^{″}$。

したがって、$d^{″}$は$\{p_1,d\}$のある共通ディバイザー（因子）である。したがって、$d^{\prime }=q^{‴}{d}^{″}$。

したがって、$d^{\prime }$は、$S$のある最大共通ディバイザー（因子）である。

したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、各$n$に対する各$S$はある最大共通ディバイザー（因子）を持つ。

私たちは、$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,...,p_n\})\})\subseteq gcd(\{p_1,...,p_n\})$であることを見た。

$gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...,p_n\})\})\subseteq gcd(\{p_2,...,p_n\})$、等々と続く、であるから、$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...,p_n\})\})\})\subseteq gcd(\{p_1,...,p_n\})$、等々と続く、そして結局、$gcd(\{p_1,gcd(\{p_2,gcd(\{p_3,...gcd(\{p_{n-1},p_n\})...\})\})\})\subseteq gcd(\{p_1,...,p_n\})$。

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参考資料

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