インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、要素によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が別の要素によるものでもあった場合、要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたちの定義を知っている。
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、任意の要素による任意のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が任意の別の要素によるものでもあった場合、当該要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、当該プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(p\): \(\in R\)
\(p R\): \(= p \text{ によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\exists p' \in R (p R = p' R)\)
\(\implies\)
\(p' \in Asc (p) \land p \in Asc (p')\)
)
\(\land\)
\(\forall p' \in Asc (p) (p R = p' R)\)
//
2: 自然言語記述
任意のインテグラルドメイン（整域）\(R\)、任意の\(p \in R\)、プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）\(p R\)に対して、もしも、以下を満たすある\(p' \in R\)、つまり、\(p R = p' R\)、がある場合、\(p' \in Asc (p)\)で\(p \in Asc (p')\)。そして、各\(p' \in Asc (p)\)に対して、\(p R = p' R\)。
3: 証明
\(p = p 1 \in p' R\)、したがって、ある\(r' \in R\)に対して\(p = p' r'\)。\(p' = p' 1 \in p R\)、したがって、ある\(r \in R\)に対して\(p' = p r\)。
\(p = p r r'\)。任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題によって、\(1 = r r'\)。\(R\)はコミュータティブ（可換）リング（環）であるので、\(1 = r' r\)。
したがって、\(r\)および\(r'\)はユニットたちである。
各\(p' \in Asc (p)\)に対して、あるユニット\(u\)でもって\(p' = u p\)。
\(p R = p' R\)、なぜなら、各\(p'' \in p R\)に対して、\(p'' = p r = u^{-1} p' r = p' u^{-1} r \in p' R\); 各\(p'' \in p' R\)に対して、\(p'' = p' r = u p r = p u r \in p R\)。
