インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたちの定義を知っている。
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq R\)
\(gcd (S)\): \(= S \text{ の全ての最大共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists d \in gcd (S)\)
\(\implies\)
\(gcd (S) = Asc (d)\)
//
2: 自然言語記述
任意のインテグラルドメイン（整域）\(R\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq R\)に対して、もしも、ある要素\(d \in gcd (S)\)がある場合、\(gcd (S) = Asc (d)\)である。
3: 注
本命題は、そうしたある\(d\)が常に存在するとは主張していない。
4: 証明
ある\(d \in gcd (S)\)があると仮定しよう。
\(S = \emptyset\)または\(S = \{0\}\)である時、\(gcd (S) = \{0\}\)（コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義に対する"注"を参照）、そして、実際にある\(d = 0\)がある。\(gcd (S) = \{0\} = \{u 0 \vert u \in \{R \text{ 内の全てのユニットたち }\}\}\)。
これ以降は、\(S \neq \emptyset\)および\(S \neq \{0\}\)であると仮定しよう。
\(0 \notin gcd (S)\): コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義に対する"注"を参照。したがって、\(d \neq 0\)。
各ユニット\(u\)に対して\(u d \in gcd (S)\)であることを証明しよう。
各\(p \in S\)に対して、以下を満たすある\(q \in R\)、つまり、\(p = q d\)、がある、したがって、\(p = q u^{-1} u d\)、ここで、\(q u^{-1} \in R\)。したがって、\(u d\)は共通ディバイザー（因子）である。
\(S'\)は\(S\)の全ての共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合）であると仮定しよう。各\(d' \in S'\)に対して、ある\(q' \in R\)に対して、\(d = q' d'\)、したがって、\(u d = u q' d'\)、ここで、\(u q' \in R\)。したがって、\(u d\)は最大共通ディバイザー（因子）である。
各\(d' \in gcd (S)\)はあるユニット\(u\)に対して\(d' = u d\)であると証明しよう。
何らかの\(q, q' \in R\)に対して\(d = q' d'\)および\(d' = q d\)である。\(d = d 1 = q' q d = d q' q\)。キャンセレーションルールによって（\(d \neq 0\)）、\(1 = q' q\)。したがって、\(q\)はユニット\(u\)であり、\(d' = u d\)。
