645: インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちである

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インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたちの定義を知っている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$S$: $\subseteq R$
$gcd(S)$: $=S\text{ の全ての最大共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }d\in gcd(S)$
$⟹$
$gcd(S)=Asc(d)$
//

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2: 自然言語記述

任意のインテグラルドメイン（整域）$R$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq R$に対して、もしも、ある要素$d\in gcd(S)$がある場合、$gcd(S)=Asc(d)$である。

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3: 注

本命題は、そうしたある$d$が常に存在するとは主張していない。

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4: 証明

ある$d\in gcd(S)$があると仮定しよう。

$S=\mathrm{\varnothing }$または$S=\{0\}$である時、$gcd(S)=\{0\}$（コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義に対する"注"を参照）、そして、実際にある$d=0$がある。$gcd(S)=\{0\}=\{u0|u\in \{R\text{ 内の全てのユニットたち }\}\}$。

これ以降は、$S\ne \mathrm{\varnothing }$および$S\ne \{0\}$であると仮定しよう。

$0\notin gcd(S)$: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義に対する"注"を参照。したがって、$d\ne 0$。

各ユニット$u$に対して$ud\in gcd(S)$であることを証明しよう。

各$p\in S$に対して、以下を満たすある$q\in R$、つまり、$p=qd$、がある、したがって、$p=q{u}^{-1}ud$、ここで、$q{u}^{-1}\in R$。したがって、$ud$は共通ディバイザー（因子）である。

$S^{\prime }$は$S$の全ての共通ディバイザー（因子）たちのセット（集合）であると仮定しよう。各$d^{\prime }\in S^{\prime }$に対して、ある$q^{\prime }\in R$に対して、$d=q^{\prime }{d}^{\prime }$、したがって、$ud=u{q}^{\prime }{d}^{\prime }$、ここで、$u{q}^{\prime }\in R$。したがって、$ud$は最大共通ディバイザー（因子）である。

各$d^{\prime }\in gcd(S)$はあるユニット$u$に対して$d^{\prime }=ud$であると証明しよう。

何らかの$q,q^{\prime }\in R$に対して$d=q^{\prime }{d}^{\prime }$および$d^{\prime }=qd$である。$d=d1=q^{\prime }qd=d{q}^{\prime }q$。キャンセレーションルールによって（$d\ne 0$）、$1=q^{\prime }q$。したがって、$q$はユニット$u$であり、$d^{\prime }=ud$。

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参考資料

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