2024年6月30日日曜日

657: プリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)は最大共通ディバイザー(因子)たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー(因子)たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)たちのサム(合計)がそれによってプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)であるというものである

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プリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)は最大共通ディバイザー(因子)たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー(因子)たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)たちのサム(合計)がそれによってプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)であるというものであることの記述/証明

話題


About: リング(環)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のプリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)は最大共通ディバイザー(因子)たちドメインであり、プリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー(因子)たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)たちのサム(合計)がそれによってプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)であるというものであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのプリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)たち }\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(R \in \{\text{ 全ての最大共通ディバイザー(因子)たちドメインたち }\}\)
\(\land\)
\(\forall \{p_1, p_2\} \subseteq R (\forall d \in gcd (\{p_1, p_2\}) (d R = p_1 R + p_2 R))\)
//

すぐに導き出せるコロラリー(系)として、\(\forall \{p_1, p_2\} \subseteq R (gcd (\{p_1, p_2\}) \subseteq p_1 R + p_2 R)\)。

別のコロラリー(系)として、\(\forall \{p_1, p_2\} \subseteq R (gcd (\{p_1, p_2\}) = Asc (1) \iff 1 \in p_1 R + p_2 R \iff p_1 R + p_2 R = R)\)。


2: 自然言語記述


任意のプリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)\(R\)に対して、\(R\)は最大共通ディバイザー(因子)たちドメインであり、各サブセット(部分集合)\(\{p_1, p_2\} \subseteq R\)に対して、\(\forall \{p_1, p_2\} \subseteq R (\forall d \in gcd (\{p_1, p_2\}) (d R = p_1 R + p_2 R))\)。すぐに導き出せるコロラリー(系)として、\(\forall \{p_1, p_2\} \subseteq R (gcd (\{p_1, p_2\}) \subseteq p_1 R + p_2 R)\)。別のコロラリー(系)として、\(\forall \{p_1, p_2\} \subseteq R (gcd (\{p_1, p_2\}) = Asc (1) \iff 1 \in p_1 R + p_2 R \iff p_1 R + p_2 R = R)\)。


3: 証明


\(p_1 R + p_2 R\)はアイディアル(イデアル)である、任意のリング(環)、任意のファイナイト(有限)数アイディアル(イデアル)たちに対して、当該アイディアル(イデアル)たちのサム(合計)はアイディアル(イデアル)であるという命題によって、各\(p_j R\)はプリンシパル(主要)アイディアル(イデアル)であるところ。

\(R\)はプリンシパル(主要な)インテグラルドメイン(整域)であるので、以下を満たすある\(d \in R\)、つまり、\(p_1 R + p_2 R = d R\)、がある。

\(p_j \in d R\)、なぜなら、\(p_1 = p_1 1 + p_2 0 \in p_1 R + p_2 R = d R\)で\(p_2\)に対しても同様、そして、ある\(r_j \in R\)に対して\(p_j = r_j d\)、したがって、\(d\)は\(\{p_1, p_2\}\)のある共通ディバイザー(因子)である。

\(\{p_1, p_2\}\)の各共通ディバイザー(因子)\(d'\)に対して、\(p_j = q'_j d'\)、しかし、\(d = 1 d \in d R = p_1 R + p_2 R\)であるから、\(d = p_1 r_1 + p_2 r_2 = q'_1 d' r_1 + q'_2 d' r_2 = (q'_1 r_1 + q'_2 r_2) d'\)、それが意味するのは、\(d\)はある最大共通ディバイザー(因子)であるということ。

したがって、\(gcd (\{p_1, p_2\}) \neq \emptyset\)であり、\(R\)は最大共通ディバイザー(因子)たちドメインである。

各\(d' \in gcd (\{p_1, p_2\})\)に対して、あるユニット\(u\)に対して\(d' = u d\)、任意のインテグラルドメイン(整域)および任意のサブセット(部分集合)に対して、もしも、当該サブセット(部分集合)の最大共通ディバイザー(因子)たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー(因子)のアソシエイトたちであるという命題によって。したがって、\(d' R = d R\)、なぜなら、各\(p \in d' R\)に対して、\(p = d' r = u d r = d u r \in d R\); 各\(p \in d R\)に対して、\(p = d r = u^{-1} d' r = d' u^{-1} r \in d' R\)。したがって、\(d' R = d R = p_1 R + p_2 R\)。

各\(d \in gcd (\{p_1, p_2\}\)に対して、\(d = d 1 \in d R = p_1 R + p_2 R\)。

したがって、\(gcd (\{p_1, p_2\}) \subseteq p_1 R + p_2 R\)。

\(gcd (\{p_1, p_2\}) = Asc (1)\)であると仮定しよう。

\(1 \in Asc (1) = gcd (\{p_1, p_2\}) \subseteq p_1 R + p_2 R\)。

\(1 \in p_1 R + p_2 R\)であると仮定しよう。

\(1 \in p_1 R + p_2 R = d R\)、それが含意するのは、ある\(r \in R\)に対して\(1 = r d\)、それが含意するのは、\(d\)はユニットであるということ、したがって、\(gcd (\{p_1, p_2\}) = Asc (1)\)、任意のインテグラルドメイン(整域)および任意のサブセット(部分集合)に対して、もしも、当該サブセット(部分集合)の最大共通ディバイザー(因子)たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー(因子)のアソシエイトたちであるという命題によって。

\(1 \in p_1 R + p_2 R \iff p_1 R + p_2 R = R\)というのは、\(p_1 R + p_2 R\)がアイディアル(イデアル)であることからくる共通の事実である: もしも、\(R\)の任意のアイディアル(イデアル)\(I\)に対して\(1 \in I\)である場合、\(I = R\)、なぜなら、\(R = R 1 \subseteq R I = I\)、その一方で\(I \subseteq R\); もしも、\(I = R\)である場合、\(1 \in R = I\)。


参考資料


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