2024年6月30日日曜日

657: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものである

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プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであることの記述/証明

話題


About: リング（環）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
R: ∈{ 全てのプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
R∈{ 全ての最大共通ディバイザー（因子）たちドメインたち }
∧
∀{p1,p2}⊆R(∀d∈gcd({p1,p2})(dR=p1R+p2R))
//

すぐに導き出せるコロラリー（系）として、∀{p1,p2}⊆R(gcd({p1,p2})⊆p1R+p2R)。

別のコロラリー（系）として、∀{p1,p2}⊆R(gcd({p1,p2})=Asc(1)⟺1∈p1R+p2R⟺p1R+p2R=R)。

2: 自然言語記述


任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）Rに対して、Rは最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、各サブセット（部分集合）{p1,p2}⊆Rに対して、∀{p1,p2}⊆R(∀d∈gcd({p1,p2})(dR=p1R+p2R))。すぐに導き出せるコロラリー（系）として、∀{p1,p2}⊆R(gcd({p1,p2})⊆p1R+p2R)。別のコロラリー（系）として、∀{p1,p2}⊆R(gcd({p1,p2})=Asc(1)⟺1∈p1R+p2R⟺p1R+p2R=R)。

3: 証明


p1R+p2Rはアイディアル（イデアル）である、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題によって、各pjRはプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるところ。

Rはプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるので、以下を満たすあるd∈R、つまり、p1R+p2R=dR、がある。

pj∈dR、なぜなら、p1=p11+p20∈p1R+p2R=dRでp2に対しても同様、そして、あるrj∈Rに対してpj=rjd、したがって、dは{p1,p2}のある共通ディバイザー（因子）である。

{p1,p2}の各共通ディバイザー（因子）d′に対して、pj=qj′d′、しかし、d=1d∈dR=p1R+p2Rであるから、d=p1r1+p2r2=q1′d′r1+q2′d′r2=(q1′r1+q2′r2)d′、それが意味するのは、dはある最大共通ディバイザー（因子）であるということ。

したがって、gcd({p1,p2})≠∅であり、Rは最大共通ディバイザー（因子）たちドメインである。

各d′∈gcd({p1,p2})に対して、あるユニットuに対してd′=ud、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって。したがって、d′R=dR、なぜなら、各p∈d′Rに対して、p=d′r=udr=dur∈dR; 各p∈dRに対して、p=dr=u−1d′r=d′u−1r∈d′R。したがって、d′R=dR=p1R+p2R。

各d∈gcd({p1,p2}に対して、d=d1∈dR=p1R+p2R。

したがって、gcd({p1,p2})⊆p1R+p2R。

gcd({p1,p2})=Asc(1)であると仮定しよう。

1∈Asc(1)=gcd({p1,p2})⊆p1R+p2R。

1∈p1R+p2Rであると仮定しよう。

1∈p1R+p2R=dR、それが含意するのは、あるr∈Rに対して1=rd、それが含意するのは、dはユニットであるということ、したがって、gcd({p1,p2})=Asc(1)、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであるという命題によって。

1∈p1R+p2R⟺p1R+p2R=Rというのは、p1R+p2Rがアイディアル（イデアル）であることからくる共通の事実である: もしも、Rの任意のアイディアル（イデアル）Iに対して1∈Iである場合、I=R、なぜなら、R=R1⊆RI=I、その一方でI⊆R; もしも、I=Rである場合、1∈R=I。

参考資料
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