任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのサブセット（部分集合）のプロダクトは、サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）たちの任意のサブセット（部分集合）のプロダクトは、当該サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(\{G_1, ..., G_n\}\): \(\subseteq \{G \text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}\)
\(\{G_{s_1}, ..., G_{s_m}\}\): \(\subseteq \{G_1, ..., G_n\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G = \{G_1, ..., G_n\} \text{ のダイレクトサム }\)
\(\implies\)
\(G_{s_1} ... G_{s_m} = \{G_{s_1}, ..., G_{s_m}\} \text{ のダイレクトサム }\)。
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、\(G\)の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち\(G_1, ..., G_n\)、つまり、\(G\)は\(\{G_1, ..., G_n\}\)のダイレクトサムである、任意のサブセット（部分集合）\(\{G_{s_1}, ..., G_{s_m}\} \subseteq \{G_1, ..., G_n\}\)に対して、\(G_{s_1} ... G_{s_m}\)は\(\{G_{s_1}, ..., G_{s_m}\}\)のダイレクトサムである。
3: 証明
\(G_{s_1} ... G_{s_m}\)は\(G\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって、したがって、グループである。
各\(G_{s_j} \in \{G_{s_1}, ..., G_{s_m}\}\)に対して\(G_{s_j} \cap (G_{s_1} ... G_{s_{j - 1}} \hat{G_{s_j}} G_{s_{j + 1}} ... G_{s_m}) = \{1\}\)であることを見よう。
ある\(k \in \{1, ..., n\}\)に対して\(G_{s_j} = G_k\)、そして、\(G_{s_j} \cap (G_{s_1} ... G_{s_{j - 1}} \hat{G_{s_j}} G_{s_{j + 1}} ... G_{s_m}) \subseteq G_k \cap (G_1 ... G_{k - 1} \widehat{G_k} G_{k + 1} ... G_n) = \{1\}\)。明らかに\(1 \in G_{s_j} \cap (G_{s_1} ... G_{s_{j - 1}} \hat{G_{s_j}} G_{s_{j + 1}} ... G_{s_m})\)であるから、\(G_{s_j} \cap (G_{s_1} ... G_{s_{j - 1}} \hat{G_{s_j}} G_{s_{j + 1}} ... G_{s_m}) = \{1\}\)。
\(G_{s_1} ... G_{s_m} = G_{s_1} ... G_{s_m}\)はすぐに導き出せる。
