654: 任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのサブセット（部分集合）のプロダクトは、サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）である

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任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのサブセット（部分集合）のプロダクトは、サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、当該ノーマルサブグループ（正規部分群）たちの任意のサブセット（部分集合）のプロダクトは、当該サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$\{G_1,...,G_n\}$: $\subseteq \{G\text{ の全てのノーマルサブグループ（正規部分群）たち }\}$
$\{G_{s_1},...,G_{s_m}\}$: $\subseteq \{G_1,...,G_n\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G=\{G_1,...,G_n\}\text{ のダイレクトサム }$
$⟹$
$G_{s_1}...G_{s_m}=\{G_{s_1},...,G_{s_m}\}\text{ のダイレクトサム }$。
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、$G$の以下を満たす任意のノーマルサブグループ（正規部分群）たち$G_1,...,G_n$、つまり、$G$は$\{G_1,...,G_n\}$のダイレクトサムである、任意のサブセット（部分集合）$\{G_{s_1},...,G_{s_m}\}\subseteq \{G_1,...,G_n\}$に対して、$G_{s_1}...G_{s_m}$は$\{G_{s_1},...,G_{s_m}\}$のダイレクトサムである。

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3: 証明

$G_{s_1}...G_{s_m}$は$G$のノーマルサブグループ（正規部分群）である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって、したがって、グループである。

各$G_{s_j}\in \{G_{s_1},...,G_{s_m}\}$に対して$G_{s_j}\cap (G_{s_1}...G_{s_{j-1}}\widehat{G_{s_j}}{G}_{s_{j+1}}...G_{s_m})=\{1\}$であることを見よう。

ある$k\in \{1,...,n\}$に対して$G_{s_j}=G_k$、そして、$G_{s_j}\cap (G_{s_1}...G_{s_{j-1}}\widehat{G_{s_j}}{G}_{s_{j+1}}...G_{s_m})\subseteq G_k\cap (G_1...G_{k-1}\widehat{G_k}{G}_{k+1}...G_n)=\{1\}$。明らかに$1\in G_{s_j}\cap (G_{s_1}...G_{s_{j-1}}\widehat{G_{s_j}}{G}_{s_{j+1}}...G_{s_m})$であるから、$G_{s_j}\cap (G_{s_1}...G_{s_{j-1}}\widehat{G_{s_j}}{G}_{s_{j+1}}...G_{s_m})=\{1\}$。

$G_{s_1}...G_{s_m}=G_{s_1}...G_{s_m}$はすぐに導き出せる。

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参考資料

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