646: インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちが存在する場合、それらは、ある最小共通マルチプル（倍）のアソシエイトたちである

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インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちが存在する場合、それらは、ある最小共通マルチプル（倍）のアソシエイトたちであることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注
• 4: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたちの定義を知っている。
• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）上でキャンセレーションルールが成立するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちが存在する場合、それらは、ある最小共通マルチプル（倍）のアソシエイトたちであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$S$: $\subseteq R$
$lcm(S)$: $=S\text{ の全ての最小共通マルチプル（倍）たちのセット（集合） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }m\in lcm(S)$
$⟹$
$lcm(S)=Asc(m)$.
//

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2: 自然言語記述

任意のインテグラルドメイン（整域）$R$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq R$に対して、もしも、ある要素$m\in lcm(S)$がある場合、$lcm(S)=Asc(m)$である。

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3: 注

本命題は、そうしたある$m$が常に存在するとは主張していない。

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4: 証明

ある$m\in lcm(S)$があると仮定しよう。

$0\in lcm(S)$である時、$lcm(S)=\{0\}$: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義に対する"注"を参照。すると、$m=0$、そして、$lcm(S)=\{u0|u\in \{\text{ the units in }R\}\}=\{0\}$。

これ以降、$0\notin lcm(S)$であると仮定しよう。

$m\ne 0$。

$S^{\prime }$は全ての共通マルチプル（倍）たちのセット（集合）であると仮定しよう。

$um\in S^{\prime }$であることを証明しよう。

$S=\mathrm{\varnothing }$である時、$S^{\prime }=R$: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義に対する"注"を参照、したがって、$um\in S^{\prime }$。

$S\ne \mathrm{\varnothing }$である時、各$p\in S$に対して、以下を満たすある$q\in R$、つまり、$m=qp$、がある、したがって、$um=uqp$、ここで、$uq\in R$。したがって、$um\in S^{\prime }$。

各ユニット$u$に対して$um\in lcm(S)$であることを証明しよう。

各$m^{\prime }\in S^{\prime }$に対して、ある$q\in R$に対して$m^{\prime }=qm$、したがって、$m^{\prime }=q{u}^{-1}um$、ここで、$q{u}^{-1}\in R$。

各$m^{\prime }\in lcm(S)$があるユニット$u$に対して$m^{\prime }=um$であることを証明しよう。

何らの$q,q^{\prime }\in R$に対して$m=q^{\prime }{m}^{\prime }$および$m^{\prime }=qm$。$m=m1=q^{\prime }qm=m{q}^{\prime }q$。キャンセレーションルールによって（$m\ne 0$）、$1=q^{\prime }q$。したがって、$q$はあるユニット$u$であり、$m^{\prime }=um$。

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参考資料

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