リング（環）、ファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(\{I_{l, 1}, ..., I_{l, n}\}\): \(\subseteq \{R \text{ の全てのレフトアイディアル（左イデアル）たち }\}\)
\(\{I_{r, 1}, ..., I_{r, n}\}\): \(\subseteq \{R \text{ の全てのライトアイディアル（右イデアル）たち }\}\)
\(\{I_{b, 1}, ..., I_{b, n}\}\): \(\subseteq \{R \text{ の全てのボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(I_{l, 1} + ... + I_{l, n} \in \{R \text{ の全てのレフトアイディアル（左イデアル）たち }\}\)
\(\land\)
\(I_{r, 1} + ... + I_{r, n} \in \{R \text{ の全てのライトアイディアル（右イデアル）たち }\}\)
\(\land\)
\(I_{b, 1} + ... + I_{b, n} \in \{R \text{ の全てのボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち }\}\).
//
2: 自然言語記述
任意のリング（環）\(R\)、\(R\)の任意のレフトアイディアル（左イデアル）たち\(I_{l, 1}, ..., I_{l, n}\)、\(R\)の任意のライトアイディアル（右イデアル）たち\(I_{r, 1}, ..., I_{r, n}\)、\(R\)の任意のボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち\(I_{b, 1}, ..., I_{b, n}\)に対して、\(I_{l, 1} + ... + I_{l, n}\)は、\(R\)のレフトアイディアル（左イデアル）である、\(I_{r, 1} + ... + I_{r, n}\)は、\(R\)のライトアイディアル（右イデアル）である、\(I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)は、\(R\)のボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である。
3: 証明
\(I_{l, 1} + ... + I_{l, n}\)は、アディティブ（加法的）サブグループ（部分群）である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって: \(R\)はアディション（加法）に関してアーベリアングループ（群）である; \(I_{l, j}\)は\(R\)のノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、任意のアーベリアングループ（群）の任意のサブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である; \(I_{l, 1} + ... + I_{l, n}\)は、実のところ、その命題で言及されているプロダクトである（その記法は"+"を使っているが、それは、マルチプリケーション（乗法）表記での\(I_{l, 1} ... I_{l, n}\)である）。
\(R (I_{l, 1} + ... + I_{l, n}) = I_{l, 1} + ... + I_{l, n}\)？
\(R (I_{l, 1} + ... + I_{l, n}) = R I_{l, 1} + ... + R I_{l, n}\)であることを見よう。各\(p \in R (I_{l, 1} + ... + I_{l, n})\)に対して、\(p = r (p_1 + ... + p_n) = r p_1 + ... + r p_n \in R I_{l, 1} + ... + R I_{l, n}\)。各\(p \in R I_{l, 1} + ... + R I_{l, n}\)に対して、\(p = r_1 p_1 + ... + r_n p_n\)、しかし、\(R I_{l, j} = I_{l_j}\)であるから、\(r_j p_j = p'_j = 1 p'_j\)、したがって、\(p = r_1 p_1 + ... + r_n p_n = 1 p'_1 + ... + 1 p'_n = 1 (p'_1 + ... + p'_n) \in R (I_{l, 1} + ... + I_{l, n})\)。
したがって、\(R (I_{l, 1} + ... + I_{l, n}) = R I_{l, 1} + ... + R I_{l, n} = I_{l, 1} + ... + I_{l, n}\)。
したがって、\(I_{l, 1} + ... + I_{l, n}\)は、\(R\)のレフトアイディアル（左イデアル）である。
\(I_{r, 1} + ... + I_{r, n}\)は、アディティブ（加法的）サブグループ（部分群）である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって。
\((I_{r, 1} + ... + I_{r, n}) R = I_{r, 1} + ... + I_{r, n}\)？
\((I_{r, 1} + ... + I_{r, n}) R = I_{r, 1} R + ... + I_{r, n} R\)であることを見よう。各\(p \in (I_{r, 1} + ... + I_{r, n}) R\)に対して、\(p = (p_1 + ... + p_n) r = p_1 r + ... + p_n r \in I_{r, 1} R + ... + I_{r, n} R\)。各\(p \in I_{r, 1} R + ... + I_{r, n} R\)に対して、\(p = p_1 r_1 + ... + p_n r_n\)、しかし、\(I_{r, j} R = I_{r_j}\)であるから、\(p_j r_j = p'_j = p'_j 1\)、したがって、\(p = p_1 r_1 + ... + p_n r_n = p'_1 1 + ... + p'_n 1 = (p'_1 + ... + p'_n) 1 \in (I_{r, 1} + ... + I_{r, n}) R\)。
したがって、\((I_{r, 1} + ... + I_{r, n}) R = I_{r, 1} R + ... + I_{r, n} R = I_{r, 1} + ... + I_{r, n}\)。
したがって、\(I_{r, 1} + ... + I_{r, n}\)は、\(R\)のライトアイディアル（右イデアル）である。
\(I_{b, j}\)はレフトアイディアル（左イデアル）であるので、\(I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)は上記議論によってレフトアイディアル（左イデアル）である。したがって、\(I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)は\(R\)のアディティブ（加法的）サブグループ（部分群）であり、\(R (I_{b, 1} + ... + I_{b, n}) = I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)。
\(I_{b, j}\)はライトアイディアル（右イデアル）であるので、\(I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)は上記議論によってライトアイディアル（右イデアル）である。したがって、\((I_{b, 1} + ... + I_{b, n}) R = I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)。
したがって、\(I_{b, 1} + ... + I_{b, n}\)は、\(R\)はボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である。
