656: リング（環）、ファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）である

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リング（環）、ファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリング（環）、任意のファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、当該アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$
$\{I_{l,1},...,I_{l,n}\}$: $\subseteq \{R\text{ の全てのレフトアイディアル（左イデアル）たち }\}$
$\{I_{r,1},...,I_{r,n}\}$: $\subseteq \{R\text{ の全てのライトアイディアル（右イデアル）たち }\}$
$\{I_{b,1},...,I_{b,n}\}$: $\subseteq \{R\text{ の全てのボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$I_{l,1}+...+I_{l,n}\in \{R\text{ の全てのレフトアイディアル（左イデアル）たち }\}$
$\wedge$
$I_{r,1}+...+I_{r,n}\in \{R\text{ の全てのライトアイディアル（右イデアル）たち }\}$
$\wedge$
$I_{b,1}+...+I_{b,n}\in \{R\text{ の全てのボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち }\}$.
//

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2: 自然言語記述

任意のリング（環）$R$、$R$の任意のレフトアイディアル（左イデアル）たち$I_{l,1},...,I_{l,n}$、$R$の任意のライトアイディアル（右イデアル）たち$I_{r,1},...,I_{r,n}$、$R$の任意のボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）たち$I_{b,1},...,I_{b,n}$に対して、$I_{l,1}+...+I_{l,n}$は、$R$のレフトアイディアル（左イデアル）である、$I_{r,1}+...+I_{r,n}$は、$R$のライトアイディアル（右イデアル）である、$I_{b,1}+...+I_{b,n}$は、$R$のボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である。

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3: 証明

$I_{l,1}+...+I_{l,n}$は、アディティブ（加法的）サブグループ（部分群）である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって: $R$はアディション（加法）に関してアーベリアングループ（群）である; $I_{l,j}$は$R$のノーマルサブグループ（正規部分群）である、なぜなら、任意のアーベリアングループ（群）の任意のサブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である; $I_{l,1}+...+I_{l,n}$は、実のところ、その命題で言及されているプロダクトである（その記法は"+"を使っているが、それは、マルチプリケーション（乗法）表記での$I_{l,1}...I_{l,n}$である）。

$R(I_{l,1}+...+I_{l,n})=I_{l,1}+...+I_{l,n}$？

$R(I_{l,1}+...+I_{l,n})=R{I}_{l,1}+...+R{I}_{l,n}$であることを見よう。各$p\in R(I_{l,1}+...+I_{l,n})$に対して、$p=r(p_1+...+p_n)=r{p}_1+...+r{p}_n\in R{I}_{l,1}+...+R{I}_{l,n}$。各$p\in R{I}_{l,1}+...+R{I}_{l,n}$に対して、$p=r_1{p}_1+...+r_n{p}_n$、しかし、$R{I}_{l,j}=I_{l_j}$であるから、$r_j{p}_j=p_j^{\prime }=1p_j^{\prime }$、したがって、$p=r_1{p}_1+...+r_n{p}_n=1p_1^{\prime }+...+1p_n^{\prime }=1(p_1^{\prime }+...+p_n^{\prime })\in R(I_{l,1}+...+I_{l,n})$。

したがって、$R(I_{l,1}+...+I_{l,n})=R{I}_{l,1}+...+R{I}_{l,n}=I_{l,1}+...+I_{l,n}$。

したがって、$I_{l,1}+...+I_{l,n}$は、$R$のレフトアイディアル（左イデアル）である。　

$I_{r,1}+...+I_{r,n}$は、アディティブ（加法的）サブグループ（部分群）である、任意のグループに対して、任意のファイナイト（有限）数ノーマルサブグループたちのプロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループであるという命題によって。

$(I_{r,1}+...+I_{r,n})R=I_{r,1}+...+I_{r,n}$？

$(I_{r,1}+...+I_{r,n})R=I_{r,1}R+...+I_{r,n}R$であることを見よう。各$p\in (I_{r,1}+...+I_{r,n})R$に対して、$p=(p_1+...+p_n)r=p_{1}r+...+p_{n}r\in I_{r,1}R+...+I_{r,n}R$。各$p\in I_{r,1}R+...+I_{r,n}R$に対して、$p=p_1{r}_1+...+p_n{r}_n$、しかし、$I_{r,j}R=I_{r_j}$であるから、$p_j{r}_j=p_j^{\prime }=p_j^{\prime }1$、したがって、$p=p_1{r}_1+...+p_n{r}_n=p_1^{\prime }1+...+p_n^{\prime }1=(p_1^{\prime }+...+p_n^{\prime })1\in (I_{r,1}+...+I_{r,n})R$。

したがって、$(I_{r,1}+...+I_{r,n})R=I_{r,1}R+...+I_{r,n}R=I_{r,1}+...+I_{r,n}$。

したがって、$I_{r,1}+...+I_{r,n}$は、$R$のライトアイディアル（右イデアル）である。

$I_{b,j}$はレフトアイディアル（左イデアル）であるので、$I_{b,1}+...+I_{b,n}$は上記議論によってレフトアイディアル（左イデアル）である。したがって、$I_{b,1}+...+I_{b,n}$は$R$のアディティブ（加法的）サブグループ（部分群）であり、$R(I_{b,1}+...+I_{b,n})=I_{b,1}+...+I_{b,n}$。

$I_{b,j}$はライトアイディアル（右イデアル）であるので、$I_{b,1}+...+I_{b,n}$は上記議論によってライトアイディアル（右イデアル）である。したがって、$(I_{b,1}+...+I_{b,n})R=I_{b,1}+...+I_{b,n}$。

したがって、$I_{b,1}+...+I_{b,n}$は、$R$はボースサイデッドアイディアル（両側イデアル）である。

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参考資料

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