グループ（群）に対して、要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）に対する要素によるコンジュゲーションの定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(p\): \(\in G\)
\(f_p\): \(= G \text{ に対する } p \text{ によるコンジュゲーション }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_p \in \{\text{ 'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意の要素\(p \in G\)、\(G\)に対する\(p\)によるコンジュゲーション\(f_p\)に対して、\(f_p\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f_p\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ2: \(f_p\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ3: \(f_p\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを結論する。
ステップ1:
\(f_p\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。
各\(p_1, p_2 \in G\)に対して、\(f_p (p_1 p_2) = f (p_1) f (p_2)\)？
\(f_p (p_1 p_2) = p p_1 p_2 p^{-1} = p p_1 p^{-1} p p_2 p^{-1} = f_p (p_1) f_p (p_2)\)。
\(f_p\)はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。
ステップ2:
\(f_p\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。
\(p_1, p_2 \in G\)は、\(p_1 \neq p_2\)である任意のものとしよう。\(f_p (p_1) = f_p (p_2)\)であると仮定しよう。\(p p_1 p^{-1} = p p_2 p^{-1}\)、\(p_1 = p^{-1} p p_1 p^{-1} p = p^{-1} p p_2 p^{-1} p = p_2\)、矛盾。したがって、\(f_p (p_1) \neq f_p (p_2)\)。したがって、\(f_p\)はインジェクティブ（単射）である。
\(p_2 \in G\)を任意のものとしよう。\(p_1 = p^{-1} p_2 p \in G\)としよう。\(f_p (p_1) = f_p (p^{-1} p_2 p) = p p^{-1} p_2 p p^{-1} = p_2\)。したがって、\(f_p\)はサージェクティブ（全射）である。
したがって、\(f_p\)は倍ジェクティブ（全単射）である。
ステップ3:
\(f_p\)は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
