697: グループ（群）に対して、要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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グループ（群）に対して、要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、グループ（群）に対する要素によるコンジュゲーションの定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意の要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$p$: $\in G$
$f_p$: $=G\text{ に対する }p\text{ によるコンジュゲーション }$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_p\in \{\text{ 'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意のグループ（群）$G$、任意の要素$p\in G$、$G$に対する$p$によるコンジュゲーション$f_p$に対して、$f_p$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f_p$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見る; ステップ2: $f_p$はバイジェクティブ（全単射）であることを見る; ステップ3: $f_p$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを結論する。

ステップ1:

$f_p$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）であることを見よう。

各$p_1,p_2\in G$に対して、$f_p(p_1{p}_2)=f(p_1)f(p_2)$？

$f_p(p_1{p}_2)=p{p}_1{p}_2{p}^{-1}=p{p}_1{p}^{-1}p{p}_2{p}^{-1}=f_p(p_1)f_p(p_2)$。

$f_p$はグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）である、任意のグループ（群）たち間の任意のマップ（写像）で任意の2要素たちのプロダクト（積）を当該要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であるという命題によって。

ステップ2:

$f_p$はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。

$p_1,p_2\in G$は、$p_1\ne p_2$である任意のものとしよう。$f_p(p_1)=f_p(p_2)$であると仮定しよう。$p{p}_1{p}^{-1}=p{p}_2{p}^{-1}$、$p_1=p^{-1}p{p}_1{p}^{-1}p=p^{-1}p{p}_2{p}^{-1}p=p_2$、矛盾。したがって、$f_p(p_1)\ne f_p(p_2)$。したがって、$f_p$はインジェクティブ（単射）である。

$p_2\in G$を任意のものとしよう。$p_1=p^{-1}{p}_{2}p\in G$としよう。$f_p(p_1)=f_p(p^{-1}{p}_{2}p)=p{p}^{-1}{p}_{2}p{p}^{-1}=p_2$。したがって、$f_p$はサージェクティブ（全射）である。

したがって、$f_p$は倍ジェクティブ（全単射）である。

ステップ3:

$f_p$は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

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参考資料

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