751: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、ノルム$\Vert \bullet \Vert :V\to \mathbb{R}$を持ち、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
$f^{\prime }$: $:V\to \mathbb{R},v\mapsto \Vert v\Vert$
//

ステートメント（言明）たち:
$f^{\prime }\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース$V$で、ノルム$\Vert \bullet \Vert :V\to \mathbb{R}$を持ち、カノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）$f^{\prime }:V\to \mathbb{R},v\mapsto \Vert v\Vert$はコンティニュアス（連続）である。

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3: 証明

任意のベーシス（基底）$B=\{b_1,...,b_d\}\subseteq V$を取る。

$v=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v}^j{e}_j\in V$は任意のものであるとする。

$\Vert v\Vert =\Vert \sum _{j\in \{1,...,d\}}{v}^j{e}_j\Vert \le \sum _{j\in \{1,...,d\}}\Vert v^j{e}_j\Vert =\sum _{j\in \{1,...,d\}}|v^j|\Vert e_j\Vert$、ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義によって。$\le max(\{\Vert e_j\Vert \})max(\{|v^j|\})d$。

$max(\{|v^j|\})\le (\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v^j}^2{)}^{1/2}$。

したがって、$\Vert v\Vert \le max(\{\Vert e_i\Vert \})d(\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v^j}^2{)}^{1/2}=C(\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v^j}^2{)}^{1/2}$、ここで、$C:=max(\{\Vert e_i\Vert \})d$、それは、$v$に依存しない。

$f:V\to {\mathbb{R}}^d,v=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v}^j{b}_j\mapsto (v^1,...,v^d)$は、それによってカノニカル（正典）トポロジーが定義されているマップ（写像）であるとしよう。

任意のオープンボール（開球）$B_{\Vert v\Vert ,ϵ}\subseteq \mathbb{R}$に対して、$\delta =ϵ/C$および$v$のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_v=\{p\in V|f(p)\in B_{f(v),\delta }\}\subseteq V$を取ろう、それは本当に$v$のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、$f(U_v)=B_{f(v),\delta }\subseteq {\mathbb{R}}^d$、${\mathbb{R}}^d$上でオープン（開）。

各$v^{\prime }=\sum _{j\in \{1,...,d\}}{v}^{\prime j}{b}_j\in U_v$に対して、$\Vert v^{\prime }-v\Vert \le C(\sum _{j\in \{1,...,d\}}(v^{\prime j}-v^j{)}^2{)}^{1/2}<C\delta =ϵ$。

$|\Vert v^{\prime }\Vert -\Vert v\Vert |\le \Vert v^{\prime }-v\Vert$、なぜなら、$\Vert v^{\prime }\Vert =\Vert v^{\prime }-v+v\Vert \le \Vert v^{\prime }-v\Vert +\Vert v\Vert$、したがって、$\Vert v^{\prime }\Vert -\Vert v\Vert \le \Vert v^{\prime }-v\Vert$、そして、同様に、$\Vert v\Vert -\Vert v^{\prime }\Vert \le \Vert v^{\prime }-v\Vert$。

したがって、$|f^{\prime }(v^{\prime })-f^{\prime }(v)|=|\Vert v^{\prime }\Vert -\Vert v\Vert |<ϵ$、それが意味するのは、$f^{\prime }(U_x)\subseteq B_{\Vert v\Vert -ϵ}$、それが意味するのは、当該マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、したがって、コンティニュアス（連続）である、ということ。

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参考資料

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