2024年8月25日日曜日

751: ファイナイト(有限)ディメンショナル(次元)ノルム付きリアル(実)ベクトルスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ(写像)はコンティニュアス(連続)である

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ファイナイト(有限)ディメンショナル(次元)ノルム付きリアル(実)ベクトルスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ(写像)はコンティニュアス(連続)であることの記述/証明

話題


About: ベクトルスペース(空間)
About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のファイナイト(有限)ディメンショナル(次元)ノルム付きリアル(実)ベクトルスペース(空間)でカノニカル(正典)トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ(写像)はコンティニュアス(連続)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
V: { 全ての d ディメンショナル(次元)ノルム付きリアル(実)ベクトルたちスペース(空間)たち }で、ノルム:VRを持ち、カノニカル(正典)トポロジーを持つもの
f: :VR,vv
//

ステートメント(言明)たち:
f{ 全てのコンティニュアス(連続)マップ(写像)たち }
//


2: 自然言語記述


任意のdディメンショナル(次元)ノルム付きリアル(実)ベクトルたちスペースVで、ノルム:VRを持ち、カノニカル(正典)トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ(写像)f:VR,vvはコンティニュアス(連続)である。


3: 証明


任意のベーシス(基底)B={b1,...,bd}Vを取る。

v=j{1,...,d}vjejVは任意のものであるとする。

v=j{1,...,d}vjejj{1,...,d}vjej=j{1,...,d}|vj|ej、ベクトルたちスペース(空間)上のノルムの定義によって。max({ej})max({|vj|})d

max({|vj|})(j{1,...,d}vj2)1/2

したがって、vmax({ei})d(j{1,...,d}vj2)1/2=C(j{1,...,d}vj2)1/2、ここで、C:=max({ei})d、それは、vに依存しない。

f:VRd,v=j{1,...,d}vjbj(v1,...,vd)は、それによってカノニカル(正典)トポロジーが定義されているマップ(写像)であるとしよう。

任意のオープンボール(開球)Bv,ϵRに対して、δ=ϵ/Cおよびvのオープンネイバーフッド(開近傍)Uv={pV|f(p)Bf(v),δ}Vを取ろう、それは本当にvのオープンネイバーフッド(開近傍)である、なぜなら、f(Uv)=Bf(v),δRdRd上でオープン(開)。

v=j{1,...,d}vjbjUvに対して、vvC(j{1,...,d}(vjvj)2)1/2<Cδ=ϵ

|vv|vv、なぜなら、v=vv+vvv+v、したがって、vvvv、そして、同様に、vvvv

したがって、|f(v)f(v)|=|vv|<ϵ、それが意味するのは、f(Ux)Bvϵ、それが意味するのは、当該マップ(写像)は任意のポイントにおいてコンティニュアス(連続)である、したがって、コンティニュアス(連続)である、ということ。


参考資料


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