プロパーマップ（写像）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(*f\): \(: T_1 \to T_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall K \in \{T_2 \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\} (f^{-1} (K) \in \{T_1 \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\})\)
//
2: 注
'プロパーマップ（写像）'のより狭い別の定義がある、それは、\(f\)がクローズド（閉）コンティニュアス（連続）で、各\(t \in T_2\)に対して、\(f^{-1} (t)\)がコンパクトであるようよう要求する。
そのより狭い定義は本定義を含意することを見よう。
\(K \subseteq T_2\)を任意のコンパクトサブセット（部分集合）としよう。
\(\{U_j \subseteq T_1 \vert j \in J\}\)を\(f^{-1} (K)\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
各\(k \in K\)に対して、\(f^{-1} (k) \subseteq T_1\)はコンパクトであり\(f^{-1} (k) \subseteq f^{-1} (K)\)。
したがって、\(\{U_j \subseteq T_1 \vert j \in J\}\)は\(f^{-1} (k)\)のオープンカバー（開被覆）であり、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_j \subseteq T_1 \vert j \in J_k\}\)がある。
\(T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j \subseteq T_1\)はクローズド（閉）である、したがって、\(f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j) \subseteq T_2\)はクローズド（閉） である、なぜなら、\(f\)はクローズド（閉）である、したがって、\(T_2 \setminus f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j) \subseteq T_2\)はオープン（開）である。
\(k \in T_2 \setminus f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j)\)、なぜなら、\(k \notin f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j)\)、なぜなら、\(f^{-1} (k) \subseteq \cup_{j \in J_k} U_j\)であるから、\(T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j\)内の任意のポイントは、\(f\)の下で\(k\)へマップしない。
したがって、\(K \subseteq \cup_{k \in K} T_2 \setminus f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_k} U_j)\)、そして、\(K\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{T_2 \setminus f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_{k_j}} U_j) \vert k_j \in K^`\}\)、ここで、\(K^` = \{k_1, ..., k_n\} \subseteq K\)はあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、がある。
\(f^{-1} (K) \subseteq (\cup_{j \in J_{k_1}} U_j) \cup ... \cup (\cup_{j \in J_{k_n}} U_j)\)であることを見よう。
\(p \in f^{-1} (K)\)を任意のものとしよう。
\(f (p) \in K\)。したがって、\(f (p) \in T_2 \setminus f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_{k_j}} U_j)\)、ある\(k_j\)に対して。したがって、\(f (p) \notin f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_{k_j}} U_j)\)、その\(k_j\)に対して。それが意味するのは、\(p \in \cup_{j \in J_{k_j}} U_j\)、なぜなら、そうでなければ、\(p \in T_1 \setminus \cup_{j \in J_{k_j}} U_j\)および\(f (p) \in f (T_1 \setminus \cup_{j \in J_{k_j}} U_j)\)、矛盾。
したがって、\(p \in (\cup_{j \in J_{k_1}} U_j) \cup ... \cup (\cup_{j \in J_{k_n}} U_j)\)。
したがって、\(f^{-1} (K) \subseteq (\cup_{j \in J_{k_1}} U_j) \cup ... \cup (\cup_{j \in J_{k_n}} U_j)\)。
それが意味するのは、\(\{U_j \vert j \in J_{k_1} \cup ... \cup J_{k_n}\}\)は\(f^{-1} (K)\)のファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）であるということ: \(J_{k_1} \cup ... \cup J_{k_n}\)はファイナイト（有限）である、なぜなら、各\(J_{k_j}\)はファイナイト（有限）である。
したがって、\(f^{-1} (K)\)はコンパクトである。
