ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、ベクトルたちスペース（空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(F^d\): \(= \text{ 当該ベクトルたちスペース（空間） }\)
\(f\): \(: V \to F^d, v \to (v^1, ..., v^d)\)、ここで、\(v = v^1 b_1 + ... + v^d b_d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(d\)ディメンショナル（次元）\(F\)ベクトルたちスペース（空間）\(V\)、任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\)、当該ベクトルたちスペース（空間）\(F^d\)、\(f: V \to F^d, v \to (v^1, ..., v^d)\)、ここで、\(v = v^1 b_1 + ... + v^d b_d\)、に対して、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
3: 注
\(F\)は、\(\mathbb{R}\)または\(\mathbb{C}\)である必要はない。
本命題は、通常、直感的に明らかだとみなされている、しかし、私たちはそれを1度本当に証明したのだと、良心において安らかになろう。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: \(F^d\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう; ステップ2: \(f\)はリニア（線形）であることを見よう; ステップ3: \(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう; ステップ4: 本命題を結論しよう。
ステップ1:
\(F^d\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in F^d\)に対して、\(v_1 + v_2 \in F^d\)（アディション（加法）の下で閉じていること）; 2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in F^d\)に対して、\(v_1 + v_2 = v_2 + v_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））; 3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in F^d\)に対して、\((v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 4) 以下を満たすある0要素\(0 \in F^d\)、つまり、任意の\(v \in F^d\)に対して\(v + 0 = v\)、がある（0ベクトルの存在）; 5) for 任意の要素\(v \in F^d\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in F^d\)、つまり、\(v' + v = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）; 6) 任意の要素\(v \in F^d\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . v \in F^d\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）; 7) 任意の要素\(v \in F^d\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . v = r_1 . v + r_2 . v\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in F^d\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (v_1 + v_2) = r . v_1 + r . v_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 9) 任意の要素\(v \in F^d\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . v = r_1 . (r_2 . v)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 10) 任意の要素\(v \in F^d\)に対して、\(1 . v = v\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））。
ステップ2:
\(f\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、各ベクトルの任意のベーシス（基底）に関する分解はユニークである: もしも、\(v = v^1 b_1 + ... + v^d b_d = v'^1 b_1 + ... + v'^d b_d\)である場合、\((v^1 - v'^1) b_1 + ... + (v^d - v'^d) b_d = 0\)、それが含意するのは、\(v^j = v'^j\)。
\(f\)はリニア（線形）であることを見よう。
\(v, v' \in V\)および\(r, r' \in F\)は任意のものたちであるとしよう。
\(v = v^1 b_1 + ... + v^d b_d\)および\(v' = v'^1 b_1 + ... + v'^d b_d\)であるとしよう。
\(f (r v + r' v') = f (r (v^1 b_1 + ... + v^d b_d) + r' (v'^1 b_1 + ... + v'^d b_d)) = f ((r v^1 + r' v'^1)b_1 + ... + (r v^d + r' v'^d) b_d) = (r v^1 + r' v'^1, ..., r v^d + r' v'^d) = (r v^1, ..., r v^d) + (r' v'^1, ..., r' v'^d) = r (v^1, ..., v^d) + r' (v'^1, ..., v'^d) = r f (v) + r' f (v')\)。
ステップ3:
\(f\)はバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。
\(v \neq v' \in V\)は任意のものたちであるとしよう。
\(f (v) \neq f (v')\)、なぜなら、各ベクトルの任意のベーシス（基底）に関する分解はユニークである: 前に言及された。
したがって、\(f\)はインジェクティブ（単射）である。
\((v^1, ..., v^d) \in F^d\)は任意のものであるとしよう。
\(v := v^1 b_1 + ... + v_d b_d \in V\)に対して、\(f (v) = f (v^1 b_1 + ... + v_d b_d) = (v^1, ..., v^d)\)。
したがって、\(f\)はサージェクティブ（全射）である。
ステップ4:
任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(f\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
