2024年10月6日日曜日

806: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、ベクトルたちスペース（空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、ベクトルたちスペース（空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V: ∈{ 全ての d ディメンショナル（次元） F ベクトルたちスペース（空間）たち }
B: ={b1,...,bd}⊆V, ∈{V の全てのベーシス（基底）たち }
Fd: = 当該ベクトルたちスペース（空間） 
f: :V→Fd,v→(v1,...,vd)、ここで、v=v1b1+...+vdbd
//

ステートメント（言明）たち:
f∈{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のdディメンショナル（次元）Fベクトルたちスペース（空間）V、任意のベーシス（基底）B={b1,...,bd}⊆V、当該ベクトルたちスペース（空間）Fd、f:V→Fd,v→(v1,...,vd)、ここで、v=v1b1+...+vdbd、に対して、fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

3: 注


Fは、RまたはCである必要はない。

本命題は、通常、直感的に明らかだとみなされている、しかし、私たちはそれを1度本当に証明したのだと、良心において安らかになろう。

4: 証明


全体戦略: ステップ1: Fdは本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう; ステップ2: fはリニア（線形）であることを見よう; ステップ3: fはバイジェクティブ（全単射）であることを見よう; ステップ4: 本命題を結論しよう。

ステップ1:

Fdは本当にFベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。

1) 任意の要素たちv1,v2∈Fdに対して、v1+v2∈Fd（アディション（加法）の下で閉じていること）; 2) 任意の要素たちv1,v2∈Fdに対して、v1+v2=v2+v1（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））; 3) 任意の要素たちv1,v2,v3∈Fdに対して、(v1+v2)+v3=v1+(v2+v3)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 4) 以下を満たすある0要素0∈Fd、つまり、任意のv∈Fdに対してv+0=v、がある（0ベクトルの存在）; 5) for 任意の要素v∈Fdに対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素v′∈Fd、つまり、v′+v=0、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）; 6) 任意の要素v∈Fd、任意のスカラーr∈Fに対して、r.v∈Fd（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）; 7) 任意の要素v∈Fd、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1+r2).v=r1.v+r2.v（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 8) 任意の要素たちv1,v2∈Fd、任意のスカラーr∈Fに対して、r.(v1+v2)=r.v1+r.v2（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））; 9) 任意の要素v∈Fd、任意のスカラーたちr1,r2∈Fに対して、(r1r2).v=r1.(r2.v)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））; 10) 任意の要素v∈Fdに対して、1.v=v（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））。

ステップ2:

fはウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、各ベクトルの任意のベーシス（基底）に関する分解はユニークである: もしも、v=v1b1+...+vdbd=v′1b1+...+v′dbdである場合、(v1−v′1)b1+...+(vd−v′d)bd=0、それが含意するのは、vj=v′j。

fはリニア（線形）であることを見よう。

v,v′∈Vおよびr,r′∈Fは任意のものたちであるとしよう。

v=v1b1+...+vdbdおよびv′=v′1b1+...+v′dbdであるとしよう。

f(rv+r′v′)=f(r(v1b1+...+vdbd)+r′(v′1b1+...+v′dbd))=f((rv1+r′v′1)b1+...+(rvd+r′v′d)bd)=(rv1+r′v′1,...,rvd+r′v′d)=(rv1,...,rvd)+(r′v′1,...,r′v′d)=r(v1,...,vd)+r′(v′1,...,v′d)=rf(v)+r′f(v′)。

ステップ3:

fはバイジェクティブ（全単射）であることを見よう。

v≠v′∈Vは任意のものたちであるとしよう。

f(v)≠f(v′)、なぜなら、各ベクトルの任意のベーシス（基底）に関する分解はユニークである: 前に言及された。

したがって、fはインジェクティブ（単射）である。

(v1,...,vd)∈Fdは任意のものであるとしよう。

v:=v1b1+...+vdbd∈Vに対して、f(v)=f(v1b1+...+vdbd)=(v1,...,vd)。

したがって、fはサージェクティブ（全射）である。

ステップ4:

任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、fは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

参考資料
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