822: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）の、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{″}$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M^{\prime }$: $\in \{M^{″}\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$M$: $\in \{M^{″}\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $M$は$M^{″}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: $\iota :M\to M^{\prime }$および${\iota }^{\prime }:M^{\prime }\to M^{″}$をインクルージョン（封入）たちとし、${\iota }^{\prime }\circ \iota :M\to M^{″}$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

$M$は$M^{″}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを見よう。

$M$は$M^{\prime }$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。$M^{\prime }$は$M^{″}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。

$M$の各サブセット（部分集合）はオープン（開）または非オープン（開）である、もしも、それが、$M$を$M^{″}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）または非オープン（開）である場合、そしてその場合に限って、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、それが意味するのは、$M$は本当に$M^{″}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるということ。

ステップ2:

$\iota :M\to M^{\prime }$および${\iota }^{\prime }:M^{\prime }\to M^{″}$を当該インクルージョン（封入）たちとしよう、それらは、$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）たちである。

${\iota }^{\prime }\circ \iota :M\to M^{″}$は当該インクルージョン（封入）である。

${\iota }^{\prime }\circ \iota$は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）の、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。

ステップ3:

したがって、$M$は$M^{″}$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。

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参考資料

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