\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）の、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M''\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M'\): \(\in \{M'' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(M\): \(\in \{M'' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)は\(M''\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを見る; ステップ2: \(\iota: M \to M'\)および\(\iota': M' \to M''\)をインクルージョン（封入）たちとし、\(\iota' \circ \iota: M \to M''\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(M\)は\(M''\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることを見よう。
\(M\)は\(M'\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。\(M'\)は\(M''\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である。
\(M\)の各サブセット（部分集合）はオープン（開）または非オープン（開）である、もしも、それが、\(M\)を\(M''\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしてオープン（開）または非オープン（開）である場合、そしてその場合に限って、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、それが意味するのは、\(M\)は本当に\(M''\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるということ。
ステップ2:
\(\iota: M \to M'\)および\(\iota': M' \to M''\)を当該インクルージョン（封入）たちとしよう、それらは、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）たちである。
\(\iota' \circ \iota: M \to M''\)は当該インクルージョン（封入）である。
\(\iota' \circ \iota\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の任意の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、当該エンベディング（埋め込み）の、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題によって。
ステップ3:
したがって、\(M\)は\(M''\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
