823: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、およびエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）はC∞である

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、およびエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のダブルの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\iota$: $:M\to M^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
${\iota }^{\prime }$: $:M\to \iota (M)\subseteq M^{\prime }$, $=\iota \text{ のコドメイン（余域）リストリクション（制限） }$
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ステートメント（言明）たち:
${{\iota }^{\prime }}^{-1}:\iota (M)\subseteq M^{\prime }\to M\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 注

本ロジックは、イマーストサブマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、（それは、アダプテッドチャートやアダプティングチャートを持つと保証されていない）には適用できない。

$\iota (M)$は$M$に等しい、セット（集合）的には、しかし、$M^{\prime }$のサブセット（部分集合）にすぎない、したがって、$\iota (M)$と$M$は区別される必要がある。

${\iota }^{\prime -1}$の$C^{\mathrm{\infty }}$性は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義にしたがったものである。

ある即座の系は、$f:N\to M^{\prime }$が、$f(N)\subseteq \iota (M)$が$C^{\mathrm{\infty }}$であるものである時、$f^{\prime }:N\to M$、$f$のコドメイン（余域）が入れ替えられたもの、は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$f^{\prime }={{\iota }^{\prime }}^{-1}\circ f$、ここで、$f:N\to \iota (M)\subseteq M^{\prime }$および${{\iota }^{\prime }}^{-1}:\iota (M)\subseteq M^{\prime }\to M$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって: $f:N\to \iota (M)\subseteq M^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

落とし穴として、$f:N_1\to M\to N_2$の$C^{\mathrm{\infty }}$性を、$N_1\to M$および$M\to N_2$の$C^{\mathrm{\infty }}$性たちによって証明しようと試みる時、$N_1\to M^{\prime }$の$C^{\mathrm{\infty }}$性は$N_1\to M$の$C^{\mathrm{\infty }}$性を保証する、$N_1\to M^{\prime }\to M$によって、もしも、$M$が本当に$M^{\prime }$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であれば、本命題によって、しかし、もしも、$M$が$M^{\prime }$のイマーストサブマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、であれば、$N_1\to M^{\prime }$の$C^{\mathrm{\infty }}$性は$N_1\to M$の$C^{\mathrm{\infty }}$性を保証しない、少なくとも、本命題によっては。

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3: 証明

全体戦略: 2部分にて行なう: 第1部分: $M^{\prime }$は空のバウンダリー（境界）を持つと仮定する; 第2部分: $M^{\prime }$は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ1: $M^{\prime }$は空のバウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ2: 各$m^{\prime }\in \iota (M)$に対して、あるアダプテッドチャート$(U_{m^{\prime }}^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime })$および対応するアダプティングチャート$(U_{m^{\prime }}\subseteq M,{\varphi }_{m^{\prime }})$を取り、${{\iota }^{\prime }}^{-1}(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))\subseteq U_{m^{\prime }}$であることを見る; ステップ3: ${\varphi }_{m^{\prime }}\circ {{\iota }^{\prime }}^{-1}\circ {{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))}:{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))\to {\varphi }_{m^{\prime }}(U_{m^{\prime }})$は${\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(m^{\prime })$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ4: $m^{\prime }$はある非空バウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ5: $M^{\prime }$のダブル$D(M^{\prime })$、それは空バウンダリー（境界）を持つ、を取り、第1部分の結論を適用して本命題を結論する。

ステップ1:

第1部分に対して、$M^{\prime }$は空のバウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。

その理由は、スライスチャートたち基準を用いること、それは、$M^{\prime }$がバウンダリー（境界）を持たないことを要求する。

ステップ2:

各$m^{\prime }\in \iota (M)$に対して、あるアダプテッドチャート$(U_{m^{\prime }}^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime })$および対応するアダプティングチャート$(U_{m^{\prime }}\subseteq M,{\varphi }_{m^{\prime }})$、ここで、$U_{m^{\prime }}=U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M)$および${\varphi }_{m^{\prime }}={\pi }_J\circ {\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }{|}_{U_{m^{\prime }}}$、ここで、${\pi }_J:{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\to {\mathbb{R}}^d$はプロジェクション（投射）である、を取ろう。

${{\iota }^{\prime }}^{-1}(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))\subseteq U_{m^{\prime }}$、明らかに。

Step 3: ステップ3:

${{\iota }^{\prime }}^{-1}$が$m^{\prime }$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるか否かは、${\varphi }_{m^{\prime }}\circ {{\iota }^{\prime }}^{-1}\circ {{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))}:{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))\to {\varphi }_{m^{\prime }}(U_{m^{\prime }})$が${\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(m^{\prime })$において$C^{\mathrm{\infty }}$であるか否かという問題である、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって。

${\varphi }_{m^{\prime }}\circ {{\iota }^{\prime }}^{-1}\circ {{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))}$は$(x^1,...,x^d,0,...,0)\mapsto (x^1,...,x^d)$である、アダプテッドチャートおよびアダプティングチャートの諸性質によって。

それは、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^{d^{\prime }}\to {\mathbb{R}}^d,(x^1,...,x^d,0,...,0)\mapsto (x^1,...,x^d)$へ拡張できる。

したがって、${\varphi }_{m^{\prime }}\circ {{\iota }^{\prime }}^{-1}\circ {{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }(U_{m^{\prime }}^{\prime }\cap \iota (M))}$は本当に${\varphi }_{m^{\prime }}^{\prime }$において$C^{\mathrm{\infty }}$であり、したがって、${{\iota }^{\prime }}^{-1}$は$m^{\prime }$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$m^{\prime }\in \iota (M)$は恣意的であるから、${{\iota }^{\prime }}^{-1}$は$\iota (M)$全体で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ4:

第2部分に対して、$M^{\prime }$は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。

ステップ5:

$M^{\prime }$のダブル$D(M^{\prime })$を取ろう。

$D(M^{\prime })$は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）なし、で、あるレギュラードメイン$\widetilde{M^{\prime }}$で$M^{\prime }$へディフェオモーフィックであるものを持つものである。

あるディフェオモーフィズムを$g:M^{\prime }\to \widetilde{M^{\prime }}$としよう。

$g$のリストリクション（制限）を$g^{\prime }:M\to g(M):=\tilde{M}\subseteq \widetilde{M^{\prime }}$、ここで、$\tilde{M}$は、$\widetilde{M^{\prime }}$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、で、$M$へディフェオモーフィックである: それは、セット（集合）たち間マップ（写像）的に"リストリクション（制限）"であるが、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち$M$および$\tilde{M}$によって置き換えられたものである。$\tilde{M}$は本当にそう理解できる、なぜなら、$\widetilde{M^{\prime }}$は$M^{\prime }$へディフェオモーフィックであるところ、$\tilde{M}$の$\widetilde{M^{\prime }}$への関係は、$M$の$M^{\prime }$への関係と同じである。

$\tilde{M}$は$D(M^{\prime })$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、なぜなら、$\widetilde{M^{\prime }}$は$D(M^{\prime })$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き（実際には、レギュラードメイン）、である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題によって。

$\tilde{\iota }:\tilde{M}\to D(M^{\prime })$を当該インクルージョン（封入）としよう。

${\tilde{\iota }}^{\prime }:\tilde{M}\to \tilde{\iota }(\tilde{M})\subseteq D(M^{\prime })$を$\tilde{\iota }$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

第1部分の結論によって、${{\tilde{\iota }}^{\prime }}^{-1}:\tilde{\iota }(\tilde{M})\subseteq D(M^{\prime })\to \tilde{M}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$\tilde{\tau }:\widetilde{M^{\prime }}\to D(M^{\prime })$を当該インクルージョン（封入）としよう、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$\widetilde{M^{\prime }}$は$D(M^{\prime })$のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。

${\tilde{\tau }}^{\prime }:\widetilde{M^{\prime }}\to \tilde{\tau }(\widetilde{M^{\prime }})\subseteq D(M^{\prime })$を$\tilde{\tau }$のコドメイン（余域）としよう、それも、$C^{\mathrm{\infty }}$である。

${{\iota }^{\prime }}^{-1}:\iota (M)\subseteq M^{\prime }\to M=g^{\prime -1}\circ {{\tilde{\iota }}^{\prime }}^{-1}\circ {\tilde{\tau }}^{\prime }\circ g{|}_{\iota (M)}:\iota (M)\subseteq M^{\prime }\to g(\iota (M))=\tilde{\iota }(\tilde{M})\subseteq \widetilde{M^{\prime }}\to \tilde{\tau }(\tilde{\iota }(\tilde{M}))=\tilde{\iota }(\tilde{M})\subseteq D(M^{\prime })\to \tilde{M}\to M,m^{\prime }\mapsto g(m^{\prime })\mapsto \tilde{\tau }(g(m^{\prime }))=g(m^{\prime })\mapsto g(m^{\prime })\to m^{\prime }$。

それは、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちのコンポジション（合成）であるから、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

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参考資料

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