\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、およびエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のダブルの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち }\}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(\iota'\): \(: M \to \iota (M) \subseteq M'\), \(= \iota \text{ のコドメイン（余域）リストリクション（制限） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({\iota'}^{-1}: \iota (M) \subseteq M' \to M \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
本ロジックは、イマーストサブマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、（それは、アダプテッドチャートやアダプティングチャートを持つと保証されていない）には適用できない。
\(\iota (M)\)は\(M\)に等しい、セット（集合）的には、しかし、\(M'\)のサブセット（部分集合）にすぎない、したがって、\(\iota (M)\)と\(M\)は区別される必要がある。
\({\iota}'^{-1}\)の\(C^\infty\)性は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義にしたがったものである。
ある即座の系は、\(f: N \to M'\)が、\(f (N) \subseteq \iota (M)\)が\(C^\infty\)であるものである時、\(f': N \to M\)、\(f\)のコドメイン（余域）が入れ替えられたもの、は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(f' = {\iota'}^{-1} \circ f\)、ここで、\(f: N \to \iota (M) \subseteq M'\)および\({\iota'}^{-1}: \iota (M) \subseteq M' \to M\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって: \(f: N \to \iota (M) \subseteq M'\)は\(C^\infty\)である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
落とし穴として、\(f: N_1 \to M \to N_2\)の\(C^\infty\)性を、\(N_1 \to M\)および\(M \to N_2\)の\(C^\infty\)性たちによって証明しようと試みる時、\(N_1 \to M'\)の\(C^\infty\)性は\(N_1 \to M\)の\(C^\infty\)性を保証する、\(N_1 \to M' \to M\)によって、もしも、\(M\)が本当に\(M'\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であれば、本命題によって、しかし、もしも、\(M\)が\(M'\)のイマーストサブマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、であれば、\(N_1 \to M'\)の\(C^\infty\)性は\(N_1 \to M\)の\(C^\infty\)性を保証しない、少なくとも、本命題によっては。
3: 証明
全体戦略: 2部分にて行なう: 第1部分: \(M'\)は空のバウンダリー（境界）を持つと仮定する; 第2部分: \(M'\)は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ1: \(M'\)は空のバウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ2: 各\(m' \in \iota (M)\)に対して、あるアダプテッドチャート\((U'_{m'} \subseteq M', \phi'_{m'})\)および対応するアダプティングチャート\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)を取り、\({\iota'}^{-1} (U'_{m'} \cap \iota (M)) \subseteq U_{m'}\)であることを見る; ステップ3: \(\phi_{m'} \circ {\iota'}^{-1} \circ {\phi'_{m'}}^{-1} \vert_{\phi'_{m'} (U'_{m'} \cap \iota (M))}: \phi'_{m'} (U'_{m'} \cap \iota (M)) \to \phi_{m'} (U_{m'})\)は\(\phi'_{m'} (m')\)において\(C^\infty\)であることを見る; ステップ4: \(m'\)はある非空バウンダリー（境界）を持つと仮定する; ステップ5: \(M'\)のダブル\(D (M')\)、それは空バウンダリー（境界）を持つ、を取り、第1部分の結論を適用して本命題を結論する。
ステップ1:
第1部分に対して、\(M'\)は空のバウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。
その理由は、スライスチャートたち基準を用いること、それは、\(M'\)がバウンダリー（境界）を持たないことを要求する。
ステップ2:
各\(m' \in \iota (M)\)に対して、あるアダプテッドチャート\((U'_{m'} \subseteq M', \phi'_{m'})\)および対応するアダプティングチャート\((U_{m'} \subseteq M, \phi_{m'})\)、ここで、\(U_{m'} = U'_{m'} \cap \iota (M)\)および\(\phi_{m'} = \pi_J \circ \phi'_{m'} \vert_{U_{m'}}\)、ここで、\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)はプロジェクション（投射）である、を取ろう。
\({\iota'}^{-1} (U'_{m'} \cap \iota (M)) \subseteq U_{m'}\)、明らかに。
Step 3: ステップ3:
\({\iota'}^{-1}\)が\(m'\)において\(C^\infty\)であるか否かは、\(\phi_{m'} \circ {\iota'}^{-1} \circ {\phi'_{m'}}^{-1} \vert_{\phi'_{m'} (U'_{m'} \cap \iota (M))}: \phi'_{m'} (U'_{m'} \cap \iota (M)) \to \phi_{m'} (U_{m'})\)が\(\phi'_{m'} (m')\)において\(C^\infty\)であるか否かという問題である、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
\(\phi_{m'} \circ {\iota'}^{-1} \circ {\phi'_{m'}}^{-1} \vert_{\phi'_{m'} (U'_{m'} \cap \iota (M))}\)は\((x^1, ..., x^d, 0, ..., 0) \mapsto (x^1, ..., x^d)\)である、アダプテッドチャートおよびアダプティングチャートの諸性質によって。
それは、\(C^\infty\)マップ（写像）\(f': \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d, (x^1, ..., x^d, 0, ..., 0) \mapsto (x^1, ..., x^d)\)へ拡張できる。
したがって、\(\phi_{m'} \circ {\iota'}^{-1} \circ {\phi'_{m'}}^{-1} \vert_{\phi'_{m'} (U'_{m'} \cap \iota (M))}\)は本当に\(\phi'_{m'}\)において\(C^\infty\)であり、したがって、\({\iota'}^{-1}\)は\(m'\)において\(C^\infty\)である。
\(m' \in \iota (M)\)は恣意的であるから、\({\iota'}^{-1}\)は\(\iota (M)\)全体で\(C^\infty\)である。
ステップ4:
第2部分に対して、\(M'\)は非空バウンダリー（境界）を持つと仮定しよう。
ステップ5:
\(M'\)のダブル\(D (M')\)を取ろう。
\(D (M')\)は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）なし、で、あるレギュラードメイン\(\widetilde{M'}\)で\(M'\)へディフェオモーフィックであるものを持つものである。
あるディフェオモーフィズムを\(g: M' \to \widetilde{M'}\)としよう。
\(g\)のリストリクション（制限）を\(g': M \to g (M) := \widetilde{M} \subseteq \widetilde{M'}\)、ここで、\(\widetilde{M}\)は、\(\widetilde{M'}\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、で、\(M\)へディフェオモーフィックである: それは、セット（集合）たち間マップ（写像）的に"リストリクション（制限）"であるが、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち\(M\)および\(\widetilde{M}\)によって置き換えられたものである。\(\widetilde{M}\)は本当にそう理解できる、なぜなら、\(\widetilde{M'}\)は\(M'\)へディフェオモーフィックであるところ、\(\widetilde{M}\)の\(\widetilde{M'}\)への関係は、\(M\)の\(M'\)への関係と同じである。
\(\widetilde{M}\)は\(D (M')\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、なぜなら、\(\widetilde{M'}\)は\(D (M')\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き（実際には、レギュラードメイン）、である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であるという命題によって。
\(\widetilde{\iota}: \widetilde{M} \to D (M')\)を当該インクルージョン（封入）としよう。
\(\widetilde{\iota}': \widetilde{M} \to \widetilde{\iota} (\widetilde{M}) \subseteq D (M')\)を\(\widetilde{\iota}\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
第1部分の結論によって、\({\widetilde{\iota}'}^{-1}: \widetilde{\iota} (\widetilde{M}) \subseteq D (M') \to \widetilde{M}\)は\(C^\infty\)である。
\(\widetilde{\tau}: \widetilde{M'} \to D (M')\)を当該インクルージョン（封入）としよう、それは、\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\widetilde{M'}\)は\(D (M')\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
\(\widetilde{\tau}': \widetilde{M'} \to \widetilde{\tau} (\widetilde{M'}) \subseteq D (M')\)を\(\widetilde{\tau}\)のコドメイン（余域）としよう、それも、\(C^\infty\)である。
\({\iota'}^{-1}: \iota (M) \subseteq M' \to M = g'^{-1} \circ {\widetilde{\iota}'}^{-1} \circ \widetilde{\tau}' \circ g \vert_{\iota (M)}: \iota (M) \subseteq M' \to g (\iota (M)) = \widetilde{\iota} (\widetilde{M}) \subseteq \widetilde{M'} \to \widetilde{\tau} (\widetilde{\iota} (\widetilde{M})) = \widetilde{\iota} (\widetilde{M}) \subseteq D (M') \to \widetilde{M} \to M, m' \mapsto g (m') \mapsto \widetilde{\tau} (g (m')) = g (m') \mapsto g (m') \to m'\)。
それは、\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）であるから、それは、\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
