833: ベクトルたちバンドル（束）およびトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）のベーシス（基底）とRkのベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのベーシス（基底）を構成する

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ベクトルたちバンドル（束）およびトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）のベーシス（基底）と$R^k$のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのベーシス（基底）を構成することの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ランク$k$のベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）および任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）の任意のベーシス（基底）と$R^k$の任意のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのあるベーシス（基底）を構成するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,T,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全てのベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$B$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$\{U_{\beta }|\beta \in B\}$: $\in \{T\text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーたち }\}$
$\{{\mathrm{\Phi }}_{\beta }|\beta \in B\}$: ${\mathrm{\Phi }}_{\beta }:{\pi }^{-1}(U_{\beta })\to U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k\in \{U_{\beta }\text{ 上方の全てのトリビアライゼーションたち }\}$
$\{B_{\beta }|\beta \in B\}$: $B_{\beta }\in \{U_{\beta }\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
$\{B_{\beta }^{\prime }|\beta \in B\}$: $B_{\beta }^{\prime }\in \{{\mathbb{R}}^k\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
$\{B_{\beta }^{″}|\beta \in B\}$: $=\{V\times V^{\prime }|V\in B_{\beta },V^{\prime }\in B_{\beta }^{\prime }\}$
$D$: $=\{{{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)|\beta \in B,U\in B_{\beta }^{″}\}$
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ステートメント（言明）たち:
$D\in \{E\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
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2: 注

$B_{\beta }^{\prime }$たちは、同一に選べるし、通常そう選ばれる。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: ${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq E$はオープン（開）であることを見る; ステップ2: 任意の$p\in E$および$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq E$を取り、以下を満たすある$U$、つまり、$p\in {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq N_p$、を得るというゴールを設定する; ステップ3: $p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq E$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、を取り、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$および以下を満たすある$U$、つまり、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(p)\in U\subseteq {\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$、を取る; ステップ4: $p\in {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq U_p\subseteq N_p$であることを見る。

ステップ1:

$U\in B_{\beta }^{″}\subseteq U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。

${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq E$はオープン（開）である、なぜなら、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }$はホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、${{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq E$はオープン（開）である。

ステップ2:

任意の$p\in E$および$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq E$を取ろう。

以下を持たすある$U_{\beta }\in \{U_{\beta }|\beta \in B\}$、つまり、$\pi (p)\in U_{\beta }$、がある。

$p\in {\pi }^{-1}(U_{\beta })$。

私たちのゴールは、以下を満たすある$U\in B_{\beta }^{″}$、つまり、$p\in {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq N_p$、を得ることである。

ステップ3:

$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq E$、つまり、$U_p\subseteq N_p$、を取ろう。

${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))\subseteq U_{\beta }\times {\mathbb{R}}^k$を取ろう、それは、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(p)$のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、$U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })$は${\pi }^{-1}(U_{\beta })$上でオープン（開）であり、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

プロダクトトポロジーの定義によって、$U_{\beta }$のあるオープンサブセット（開部分集合）$\tilde{V}$および${\mathbb{R}}^k$の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）$\widetilde{V^{\prime }}$、つまり、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(p)\in \tilde{V}\times \widetilde{V^{\prime }}\subseteq {\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$、がある。

以下を満たすある$V\in B_{\beta }$、つまり、$V\subseteq \tilde{V}$、および以下を満たすある$V^{\prime }\in B_{\beta }^{\prime }$、つまり、$V^{\prime }\subseteq \widetilde{V^{\prime }}$で${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(p)\in V\times V^{\prime }$、不可避に、$V\times V^{\prime }\subseteq \tilde{V}\times \widetilde{V^{\prime }}$、がある。

$U:=V\times V^{\prime }\in B_{\beta }^{″}$。

結局、${\mathrm{\Phi }}_{\beta }(p)\in U\subseteq \tilde{V}\times \widetilde{V^{\prime }}\subseteq {\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta }))$。

ステップ4:

$p={{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}({\mathrm{\Phi }}_{\beta }(p))\in {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}(U)\subseteq {{\mathrm{\Phi }}_{\beta }}^{-1}({\mathrm{\Phi }}_{\beta }(U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })))=U_p\cap {\pi }^{-1}(U_{\beta })\subseteq N_p$。

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参考資料

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