ベクトルたちバンドル（束）およびトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）のベーシス（基底）と\(R^k\)のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのベーシス（基底）を構成することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)のベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）および任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）の任意のベーシス（基底）と\(R^k\)の任意のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのあるベーシス（基底）を構成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, T, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全てのベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(B\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_\beta \vert \beta \in B\}\): \(\in \{T \text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーたち }\}\)
\(\{\Phi_\beta \vert \beta \in B\}\): \(\Phi_\beta: \pi^{-1} (U_\beta) \to U_\beta \times \mathbb{R}^k \in \{U_\beta \text{ 上方の全てのトリビアライゼーションたち }\}\)
\(\{B_\beta \vert \beta \in B\}\): \(B_\beta \in \{U_\beta \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(\{B'_\beta \vert \beta \in B\}\): \(B'_\beta \in \{\mathbb{R}^k \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(\{B''_\beta \vert \beta \in B\}\): \(= \{V \times V' \vert V \in B_\beta, V' \in B'_\beta\}\)
\(D\): \(= \{{\Phi_\beta}^{-1} (U) \vert \beta \in B, U \in B''_\beta\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(D \in \{E \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 注
\(B'_\beta\)たちは、同一に選べるし、通常そう選ばれる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \({\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq E\)はオープン（開）であることを見る; ステップ2: 任意の\(p \in E\)および\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq E\)を取り、以下を満たすある\(U\)、つまり、\(p \in {\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq N_p\)、を得るというゴールを設定する; ステップ3: \(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq E\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、を取り、\(\Phi_\beta (U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)および以下を満たすある\(U\)、つまり、\(\Phi_\beta (p) \in U \subseteq \Phi_\beta (U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)、を取る; ステップ4: \(p \in {\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq U_p \subseteq N_p\)であることを見る。
ステップ1:
\(U \in B''_\beta \subseteq U_\beta \times \mathbb{R}^k\)はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義によって。
\({\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq E\)はオープン（開）である、なぜなら、\(\Phi_\beta\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であり、\({\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq E\)はオープン（開）である。
ステップ2:
任意の\(p \in E\)および\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq E\)を取ろう。
以下を持たすある\(U_\beta \in \{U_\beta \vert \beta \in B\}\)、つまり、\(\pi (p) \in U_\beta\)、がある。
\(p \in \pi^{-1} (U_\beta)\)。
私たちのゴールは、以下を満たすある\(U \in B''_\beta\)、つまり、\(p \in {\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq N_p\)、を得ることである。
ステップ3:
\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq E\)、つまり、\(U_p \subseteq N_p\)、を取ろう。
\(\Phi_\beta (U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta)) \subseteq U_\beta \times \mathbb{R}^k\)を取ろう、それは、\(\Phi_\beta (p)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta)\)は\(\pi^{-1} (U_\beta)\)上でオープン（開）であり、\(\Phi_\beta\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
プロダクトトポロジーの定義によって、\(U_\beta\)のあるオープンサブセット（開部分集合）\(\tilde{V}\)および\(\mathbb{R}^k\)の以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(\tilde{V'}\)、つまり、\(\Phi_\beta (p) \in \tilde{V} \times \tilde{V'} \subseteq \Phi_\beta (U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)、がある。
以下を満たすある\(V \in B_\beta\)、つまり、\(V \subseteq \tilde{V}\)、および以下を満たすある\(V' \in B'_\beta\)、つまり、\(V' \subseteq \tilde{V'}\)で\(\Phi_\beta (p) \in V \times V'\)、不可避に、\(V \times V' \subseteq \tilde{V} \times \tilde{V'}\)、がある。
\(U := V \times V' \in B''_\beta\)。
結局、\(\Phi_\beta (p) \in U \subseteq \tilde{V} \times \tilde{V'} \subseteq \Phi_\beta (U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta))\)。
ステップ4:
\(p = {\Phi_\beta}^{-1} (\Phi_\beta (p)) \in {\Phi_\beta}^{-1} (U) \subseteq {\Phi_\beta}^{-1} (\Phi_\beta (U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta))) = U_p \cap \pi^{-1} (U_\beta) \subseteq N_p\)。
