832: マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、ベーシス（基底）またはサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけで十分である

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マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、ベーシス（基底）またはサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけで十分であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちを認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:T_1\to T_2$
$B_2$: $\in \{T_2\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$
$B_2^{\prime }$: $\in \{T_2\text{ の全てのサブベーシス（基底）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$\mathrm{\forall }{U}_{\beta }\in B_2(f^{-1}(U_{\beta })\in \{T_1\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\})$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
)
$\wedge$
(
$\mathrm{\forall }{U}_{\beta }\in B_2^{\prime }(f^{-1}(U_{\beta })\in \{T_1\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\})$
$⟹$
$f\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
)
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各オープンサブセット（開部分集合）$U_2\subseteq T_2$を$B_2$のいくつかの要素たちのユニオン（共通集合）として表わし、それの、$f$下でのプリイメージ（前像）を$B_2$の当該要素たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）として表わす; ステップ2: 各オープンサブセット（開部分集合）$U_2\subseteq T_2$ を$B_2^{\prime }$のいくつかのファイナイト（有限）要素たちのいくつかのインターセクション（共通集合）たちのユニオンとして表わし、それの、$f$下でのプリイメージ（前像）を$B_2^{\prime }$の当該要素たちのファイナイト（有限）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）として表わす。

ステップ1:

任意のオープンサブセット（開部分集合）$U_2\subseteq T_2$は、$U_2={\cup }_{\beta \in B}{U}_{\beta }$、ここで、$B$はあるアンカウンタブル（不可算）インデックスセット（集合）で、$U_{\beta }\in B_2$、である、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちによって。

$f^{-1}(U_2)={\cup }_{\beta \in B}{f}^{-1}(U_{\beta })$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。

もしも、$f^{-1}(U_{\beta })$が$T_1$上でオープン（開）であれば、${\cup }_{\beta \in B}{f}^{-1}(U_{\beta })$は$T_1$上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。

Step 2: ステップ2:

$U_2\subseteq T_2$は、$U_2={\cup }_{\beta \in B}{\cap }_{j\in J_{\beta }}{U}_{\beta ,j}^{\prime }$、ここで、$B$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、$J_{\beta }$は各$\beta$に対してファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、$U_{\beta ,j}^{\prime }\in B_2^{\prime }$、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることのいくつかの基準たちによって。

$f^{-1}(U_2)={\cup }_{\beta \in B}{f}^{-1}({\cap }_{j\in J_{\beta }}{U}_{\beta ,j}^{\prime })={\cup }_{\beta \in B}({\cap }_{j\in J_{\beta }}{f}^{-1}(U_{\beta ,j}^{\prime }))$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題および任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。

もしも、$f^{-1}(U_{\beta ,j}^{\prime })$が$T_1$上でオープン（開）であれば、${\cap }_{j\in J_{\beta }}{f}^{-1}(U_{\beta ,j}^{\prime })$は$T_1$上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）として、そして、${\cup }_{\beta \in B}({\cap }_{j\in J_{\beta }}{f}^{-1}(U_{\beta ,j}^{\prime }))$は$T_1$上でオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。

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参考資料

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