'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq V_1\), \(\in \{V_1 \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(B\): \(\subseteq V_1\), \(\in \{V_1 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (S) \in \{V_2 \text{ の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(f (B) \in \{V_2 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
2: 自然言語記述
任意のフィールド（体）\(F\)、任意の\(F\)ベクトルたちスペース（空間）たち\(V_1, V_2\)、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f\)、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）\(S \subseteq V_1\)、任意のベーシス（基底）\(B \subseteq V_1\)に対して、\(f (S)\)は\(V_2\)のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）であり、\(f (B)\)は\(V_2\)のベーシス（基底）である。
3: 注
当該ベクトルたちスペース（空間）たちは、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である必要はない; \(S\)はファイナイト（有限）である必要はない。
本命題は、通常、明らかであるとみなされている、\(V_2\)は\(V_1\)と"同じ"であるとして扱われ、しかし、私たちはそれを1度本当に証明したのだと、良心において安らかになろう。
4: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S' \subseteq f (S)\)を取り、\(\sum_{p_j \in S'} r^j p_j = 0, r^j \in F\)であると仮定し、\(r^j = 0\)であることを見る、\(f^{-1} (\sum_{p_j \in S'} r^j p_j) = f^{-1} (0)\)を取ることによって; ステップ2: 任意のポイント\(p \in V_2\)を取り、\(p\)は\(f (B)\)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）であることを見よう、\(f^{-1} (p)\)を取り、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S' \subseteq B\)および何らかの\(r^j\)たち、つまり、\(f^{-1} (p) = \sum_{p_j \in S'} r^j p_j\)、を取ることによって。
ステップ1:
\(S' \subseteq f (S)\)は任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるとしよう。
何らかの\(r^j \in F\)たちに対して\(\sum_{p_j \in S'} r^j p_j = 0\)であるとしよう。
見る必要のあることは、各\(j\)に対して\(r^j = 0\)であること。
\(f^{-1} (\sum_{p_j \in S'} r^j p_j) = f^{-1} (0)\)。\(f^{-1}\)はリニア（線形）であるので、\(f^{-1} (\sum_{p_j \in S'} r^j p_j) = \sum_{p_j \in S'} r^j f^{-1} (p_j) = f^{-1} (0) = 0\)。\(\{f^{-1} (p_j)\}\)は\(S\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるので、\(r^j = 0\)、なぜなら、\(S\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。
ステップ2:
ステップ1によって、\(f (B)\)は\(V_2\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを私たちは既に知っている。
見る必要のあることは、各ポイント\(p \in V_2\)に対して、\(p\)は\(f (B)\)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）であるということ。
\(f^{-1} (p) \in V_1\)を取ろう。\(B\)はベーシス（基底）であるから、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(S' \subseteq B\)および何らかの\(r^j\)たち、つまり、\(f^{-1} (p) = \sum_{p_j \in S'} r^j p_j\)、がある。すると、\(p = f (f^{-1} (p)) = f (\sum_{p_j \in S'} r^j p_j) = \sum_{p_j \in S'} r^j f (p_j)\)。\(\{f (p_j)\}\)は\(f (B)\)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるので、それが、私たちが見る必要のあったことである。
