2024年10月6日日曜日

807: 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）である

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'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）または任意のベーシス（基底）のイメージ（像）は、当該コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
F: ∈{ 全てのフィールド（体）たち }
V1: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
V2: ∈{ 全ての F ベクトルたちスペース（空間）たち }
f: :V1→V2, ∈{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }
S: ⊆V1, ∈{V1 の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }
B: ⊆V1, ∈{V1 の全てのベーシス（基底）たち }
//

ステートメント（言明）たち:
f(S)∈{V2 の全てのリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）たち }
∧
f(B)∈{V2 の全てのベーシス（基底）たち }
//

2: 自然言語記述


任意のフィールド（体）F、任意のFベクトルたちスペース（空間）たちV1,V2、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）f、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）S⊆V1、任意のベーシス（基底）B⊆V1に対して、f(S)はV2のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）であり、f(B)はV2のベーシス（基底）である。

3: 注


当該ベクトルたちスペース（空間）たちは、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）である必要はない; Sはファイナイト（有限）である必要はない。

本命題は、通常、明らかであるとみなされている、V2はV1と"同じ"であるとして扱われ、しかし、私たちはそれを1度本当に証明したのだと、良心において安らかになろう。

4: 証明


全体戦略: ステップ1: 任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）S′⊆f(S)を取り、∑pj∈S′rjpj=0,rj∈Fであると仮定し、rj=0であることを見る、f−1(∑pj∈S′rjpj)=f−1(0)を取ることによって; ステップ2: 任意のポイントp∈V2を取り、pはf(B)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）であることを見よう、f−1(p)を取り、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）S′⊆Bおよび何らかのrjたち、つまり、f−1(p)=∑pj∈S′rjpj、を取ることによって。

ステップ1:

S′⊆f(S)は任意のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるとしよう。

何らかのrj∈Fたちに対して∑pj∈S′rjpj=0であるとしよう。

見る必要のあることは、各jに対してrj=0であること。

f−1(∑pj∈S′rjpj)=f−1(0)。f−1はリニア（線形）であるので、f−1(∑pj∈S′rjpj)=∑pj∈S′rjf−1(pj)=f−1(0)=0。{f−1(pj)}はSのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるので、rj=0、なぜなら、Sはリニア（線形）にインディペンデント（独立）である。

ステップ2:

ステップ1によって、f(B)はV2上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることを私たちは既に知っている。

見る必要のあることは、各ポイントp∈V2に対して、pはf(B)のあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）であるということ。

f−1(p)∈V1を取ろう。Bはベーシス（基底）であるから、以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）S′⊆Bおよび何らかのrjたち、つまり、f−1(p)=∑pj∈S′rjpj、がある。すると、p=f(f−1(p))=f(∑pj∈S′rjpj)=∑pj∈S′rjf(pj)。{f(pj)}はf(B)のファイナイト（有限）サブセット（部分集合）であるので、それが、私たちが見る必要のあったことである。

参考資料
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