コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( \pi\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）たち }\}\)
\( S\): \(\subseteq T_2\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(*s\): \(: S \subseteq T_2 \to T_1\), \(\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\pi \circ s: S \to S = id\)
//
\(s\)は、\(\pi\)の\(S\)に沿ったセクション（断面）"と呼ばれる。
2: 注
\(S\)に別のトポロジーを持つことを許すことは、論理的には可能である、しかし、\(\pi\)に基づいて定義する意味がそれほどあるとは思われない、なぜなら、\(\pi\)がコンティニュアス（連続）であることとの関係が希薄になるだろう: \(\pi \vert_{\pi^{-1} (S)}: \pi^{-1} (S) \subseteq T_1 \to S\)の、\(\pi^{-1} (S)\)を\(T_1\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、もはやコンティニュアス（連続）でないかもしれない;、\(\pi \vert_{\pi^{-1} (S)}\)をコンティニュアス（連続）であるようにするために、もしも、\(\pi^{-1} (S)\)もが別のトポロジーを持つように許されたら、\(\pi\)がコンティニュアス（連続）であることはどのように重要性を持つのか？
私たちがそれに言及した理由は、もしも、\((E, M, \pi)\)がある\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であり\(S \subseteq M\)があるイマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であったらどうなるのか？\(s: S \to E\)の、\(S\)をイマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とみなしたものは、本定義に反する、なぜなら、\(S\)は\(M\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）ではない、一般的に。もしも、リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\((E \vert_{S}, S, \pi \vert_{\pi^{-1} (S)})\)およびそのあるセクション（断面）\(s: S \to E \vert_{S}\)について話したい時は、それを、単に、"\((E \vert_{S}, S, \pi \vert_{\pi^{-1} (S)})\)のセクション（断面）"と呼べばよく、"\((E, M, \pi)\)の\(S\)に沿ったセクション（断面）"と呼ぶ必要はない。
\(S\)がエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である時は、\(s\)は、"\((E \vert_{S}, S, \pi \vert_{\pi^{-1} (S)})\)のセクション（断面）"とも"\((E, M, \pi)\)の\(S\)に沿ったセクション（断面）"とも呼ぶことができる、なぜなら、\(S\)はサブスペース（部分空間）トポロジーを持っている。
なぜそれを単に"\(S\)上のセクション（断面）"と呼ばないかというと、\(E = TM\)である時、それは、あたかも、\(s: S \to TS\)のようであるから、\(: S \to TM\)の代わりに。
\(s\)が"\(S\)に沿った\(C^\infty\)セクション（断面）"と呼ばれる時、それは、\(M\)のサブセット（部分集合）から\(E\)の中へのマップ（写像）としてである、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義にしたがって。
\(S\)がエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である時、\(C^\infty\)性は、変化しない、もしも、\(s\)のドメイン（定義域）がエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とみなされても、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題によって。
