825: コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）

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コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）の定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、サージェクション（全射）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\pi$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）たち }\}$
$S$: $\subseteq T_2$で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
$\ast s$: $:S\subseteq T_2\to T_1$, $\in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

コンディションたち:
$\pi \circ s:S\to S=id$
//

$s$は、$\pi$の$S$に沿ったセクション（断面）"と呼ばれる。

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2: 注

$S$に別のトポロジーを持つことを許すことは、論理的には可能である、しかし、$\pi$に基づいて定義する意味がそれほどあるとは思われない、なぜなら、$\pi$がコンティニュアス（連続）であることとの関係が希薄になるだろう: $\pi {|}_{{\pi }^{-1}(S)}:{\pi }^{-1}(S)\subseteq T_1\to S$の、${\pi }^{-1}(S)$を$T_1$のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、もはやコンティニュアス（連続）でないかもしれない;、$\pi {|}_{{\pi }^{-1}(S)}$をコンティニュアス（連続）であるようにするために、もしも、${\pi }^{-1}(S)$もが別のトポロジーを持つように許されたら、$\pi$がコンティニュアス（連続）であることはどのように重要性を持つのか？

私たちがそれに言及した理由は、もしも、$(E,M,\pi )$がある$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）であり$S\subseteq M$があるイマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であったらどうなるのか？$s:S\to E$の、$S$をイマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とみなしたものは、本定義に反する、なぜなら、$S$は$M$のトポロジカルサブスペース（部分空間）ではない、一般的に。もしも、リストリクテッド（制限された）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$(E{|}_S,S,\pi {|}_{{\pi }^{-1}(S)})$およびそのあるセクション（断面）$s:S\to E{|}_S$について話したい時は、それを、単に、"$(E{|}_S,S,\pi {|}_{{\pi }^{-1}(S)})$のセクション（断面）"と呼べばよく、"$(E,M,\pi )$の$S$に沿ったセクション（断面）"と呼ぶ必要はない。

$S$がエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である時は、$s$は、"$(E{|}_S,S,\pi {|}_{{\pi }^{-1}(S)})$のセクション（断面）"とも"$(E,M,\pi )$の$S$に沿ったセクション（断面）"とも呼ぶことができる、なぜなら、$S$はサブスペース（部分空間）トポロジーを持っている。

なぜそれを単に"$S$上のセクション（断面）"と呼ばないかというと、$E=TM$である時、それは、あたかも、$s:S\to TS$のようであるから、$:S\to TM$の代わりに。

$s$が"$S$に沿った$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）"と呼ばれる時、それは、$M$のサブセット（部分集合）から$E$の中へのマップ（写像）としてである、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義にしたがって。

$S$がエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である時、$C^{\mathrm{\infty }}$性は、変化しない、もしも、$s$のドメイン（定義域）がエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とみなされても、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、$C^k$性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題によって。

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参考資料

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