824: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）に対して、Ck性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）に対して、$C^k$性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、$C^k$性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_1$: $\in \{M_1^{\prime }\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
${\iota }_1$: $:M_1\to M_1^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$M_2$: $\in \{M_2^{\prime }\text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
${\iota }_2$: $:M_2\to M_2^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$f_1$: $:M_1\to M_2$
$f_2$: $:M_1\to {\iota }_2(M_2)\subseteq M_2^{\prime }$, $=f_1$の、コドメイン（余域）を置換したもの
$f_3$: $:{\iota }_1(M_1)\subseteq M_1^{\prime }\to M_2$, $=f_1$の、ドメイン（定義域）を置換したもの
$f_4$: $:{\iota }_1(M_1)\subseteq M_1^{\prime }\to {\iota }_2(M_2)\subseteq M_2^{\prime }$, $=f_1$の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を置換したもの
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ステートメント（言明）たち:
$f_1\in \{\text{ 全ての }{C}^k\text{ マップ（写像）たち }\}$
$⟺$
$f_2\in \{\text{ 全ての }{C}^k\text{ マップ（写像）たち }\}$
$⟺$
$f_3\in \{\text{ 全ての }{C}^k\text{ マップ（写像）たち }\}$
$⟺$
$f_4\in \{\text{ 全ての }{C}^k\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 注

本命題はそれほど自明なものではない: 例えば、$f_1$の$C^k$性は$M_1$のアトラスおよび$M_2$のアトラスに関して判定される一方、$f_4$の$C^k$性は$M_1^{\prime }$のアトラスおよび$M_2^{\prime }$のアトラスに関して判定される。

本命題は、$M_1$および$M_2$がエンベッデッドであることを要求する、もっと一般にイマーストであることではなく。

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3: 証明

全体戦略: ${\iota }_j^{\prime }:M_j\to {\iota }_j(M_j)\subseteq M_j^{\prime }$を${\iota }_j$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）とし、$f_j$から$f_k$へに対して、$f_k$を$f_j$および${\iota }_1^{\prime },{\iota }_2^{\prime }$で表わし、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を用いる; ステップ1: $f_2,f_3,f_4$を$f_1$および${\iota }_1^{\prime },{\iota }_2^{\prime }$で表わし、$f_1,f_3,f_4$を$f_2$および${\iota }_1^{\prime },{\iota }_2^{\prime }$で表わし、$f_1,f_2,f_4$を$f_3$および${\iota }_1^{\prime },{\iota }_2^{\prime }$で表わし、$f_1,f_2,f_3$を$f_4$および${\iota }_1^{\prime },{\iota }_2^{\prime }$で表わす; ステップ2: ${{\iota }_1^{\prime }}^{-1}$および${{\iota }_2^{\prime }}^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。

ステップ1:

${\iota }_1^{\prime }:M_1\to {\iota }_1(M_1)\subseteq M_1^{\prime }$を${\iota }_1$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

${\iota }_1^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

${\iota }_2^{\prime }:M_2\to {\iota }_2(M_2)\subseteq M_2^{\prime }$を${\iota }_2$のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。

${\iota }_2^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$f_2,f_3,f_4$を$f_1$および${\iota }_1^{\prime }$および${\iota }_2^{\prime }$で表わそう。

$f_2={\iota }_2^{\prime }\circ f_1$。

$f_3=f_1\circ {{\iota }_1^{\prime }}^{-1}$。

$f_4={\iota }_2^{\prime }\circ f_1\circ {{\iota }_1^{\prime }}^{-1}$。

$f_1,f_3,f_4$を$f_2$および${\iota }_1^{\prime }$および${\iota }_2^{\prime }$で表わそう。

$f_1={{\iota }_2^{\prime }}^{-1}\circ f_2$。

$f_3={{\iota }_2^{\prime }}^{-1}\circ f_2\circ {{\iota }_1^{\prime }}^{-1}$。

$f_4=f_2\circ {{\iota }_1^{\prime }}^{-1}$。

$f_1,f_2,f_4$を$f_3$および${\iota }_1^{\prime }$および${\iota }_2^{\prime }$で表わそう。

$f_1=f_3\circ {\iota }_1^{\prime }$。

$f_2={\iota }_2^{\prime }\circ f_3\circ {\iota }_1^{\prime }$。

$f_4={\iota }_2^{\prime }\circ f_3$。

$f_1,f_2,f_3$を$f_4$および${\iota }_1^{\prime }$および${\iota }_2^{\prime }$で表わそう。

$f_1={{\iota }_2^{\prime }}^{-1}{f}_4\circ {\iota }_1^{\prime }$。

$f_2=f_4\circ {\iota }_1^{\prime }$。

$f_3={{\iota }_2^{\prime }}^{-1}\circ f_4$。

ステップ2:

${{\iota }_1^{\prime }}^{-1}$および${{\iota }_2^{\prime }}^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

ステップ3:

$f_1$は$C^k$であると仮定しよう。

$f_2,f_3,f_4$たちは$C^k$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて$C^k$であるものたち、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。

$f_2$は$C^k$であると仮定しよう。

$f_1,f_3,f_4$たちは$C^k$である、同様に。

$f_3$は$C^k$であると仮定しよう。

$f_1,f_2,f_4$たちは$C^k$である、同様に。

$f_4$は$C^k$であると仮定しよう。

$f_1,f_2,f_3$たちは$C^k$である、同様に。

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参考資料

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