\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のマップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'_1\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M'_2\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{M'_1 \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota_1\): \(: M_1 \to M'_1\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(M_2\): \(\in \{M'_2 \text{ の全てのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\iota_2\): \(: M_2 \to M'_2\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(f_1\): \(: M_1 \to M_2\)
\(f_2\): \(: M_1 \to \iota_2 (M_2) \subseteq M'_2\), \(= f_1\)の、コドメイン（余域）を置換したもの
\(f_3\): \(: \iota_1 (M_1) \subseteq M'_1 \to M_2\), \(= f_1\)の、ドメイン（定義域）を置換したもの
\(f_4\): \(: \iota_1 (M_1) \subseteq M'_1 \to \iota_2 (M_2) \subseteq M'_2\), \(= f_1\)の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を置換したもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_1 \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f_2 \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f_3 \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f_4 \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題はそれほど自明なものではない: 例えば、\(f_1\)の\(C^k\)性は\(M_1\)のアトラスおよび\(M_2\)のアトラスに関して判定される一方、\(f_4\)の\(C^k\)性は\(M'_1\)のアトラスおよび\(M'_2\)のアトラスに関して判定される。
本命題は、\(M_1\)および\(M_2\)がエンベッデッドであることを要求する、もっと一般にイマーストであることではなく。
3: 証明
全体戦略: \(\iota'_j: M_j \to \iota_j (M_j) \subseteq M'_j\)を\(\iota_j\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）とし、\(f_j\)から\(f_k\)へに対して、\(f_k\)を\(f_j\)および\(\iota'_1, \iota'_2\)で表わし、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題を用いる; ステップ1: \(f_2, f_3, f_4\)を\(f_1\)および\(\iota'_1, \iota'_2\)で表わし、\(f_1, f_3, f_4\)を\(f_2\)および\(\iota'_1, \iota'_2\)で表わし、\(f_1, f_2, f_4\)を\(f_3\)および\(\iota'_1, \iota'_2\)で表わし、\(f_1, f_2, f_3\)を\(f_4\)および\(\iota'_1, \iota'_2\)で表わす; ステップ2: \({\iota'_1}^{-1}\)および\({\iota'_2}^{-1}\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\iota'_1: M_1 \to \iota_1 (M_1) \subseteq M'_1\)を\(\iota_1\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
\(\iota'_1\)は\(C^\infty\)である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(\iota'_2: M_2 \to \iota_2 (M_2) \subseteq M'_2\)を\(\iota_2\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）としよう。
\(\iota'_2\)は\(C^\infty\)である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、レンジ（値域）を包含する任意のコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(f_2, f_3, f_4\)を\(f_1\)および\(\iota'_1\)および\(\iota'_2\)で表わそう。
\(f_2 = \iota'_2 \circ f_1\)。
\(f_3 = f_1 \circ {\iota'_1}^{-1}\)。
\(f_4 = \iota'_2 \circ f_1 \circ {\iota'_1}^{-1}\)。
\(f_1, f_3, f_4\)を\(f_2\)および\(\iota'_1\)および\(\iota'_2\)で表わそう。
\(f_1 = {\iota'_2}^{-1} \circ f_2\)。
\(f_3 = {\iota'_2}^{-1} \circ f_2 \circ {\iota'_1}^{-1}\)。
\(f_4 = f_2 \circ {\iota'_1}^{-1}\)。
\(f_1, f_2, f_4\)を\(f_3\)および\(\iota'_1\)および\(\iota'_2\)で表わそう。
\(f_1 = f_3 \circ \iota'_1\)。
\(f_2 = \iota'_2 \circ f_3 \circ \iota'_1\)。
\(f_4 = \iota'_2 \circ f_3\)。
\(f_1, f_2, f_3\)を\(f_4\)および\(\iota'_1\)および\(\iota'_2\)で表わそう。
\(f_1 = {\iota'_2}^{-1} f_4 \circ \iota'_1\)。
\(f_2 = f_4 \circ \iota'_1\)。
\(f_3 = {\iota'_2}^{-1} \circ f_4\)。
ステップ2:
\({\iota'_1}^{-1}\)および\({\iota'_2}^{-1}\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、および任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であるという命題によって。
ステップ3:
\(f_1\)は\(C^k\)であると仮定しよう。
\(f_2, f_3, f_4\)たちは\(C^k\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(f_2\)は\(C^k\)であると仮定しよう。
\(f_1, f_3, f_4\)たちは\(C^k\)である、同様に。
\(f_3\)は\(C^k\)であると仮定しよう。
\(f_1, f_2, f_4\)たちは\(C^k\)である、同様に。
\(f_4\)は\(C^k\)であると仮定しよう。
\(f_1, f_2, f_3\)たちは\(C^k\)である、同様に。
