859: 2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）である

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2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、ポインテッドトポロジカルスペース（空間）たちのウェッジサム（楔和）の定義を知っている。
• 読者は、ポインテッドマップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、当該マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(T_1,p_1)$: $\in \{\text{ 全てのポインテッドトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$(T_2,p_2)$: $\in \{\text{ 全てのポインテッドトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_1\vee T_2$: $=\text{ 当該トポロジカルスペース（空間）たちのウェッジサム（楔和） }$
$(T,p)$: $\in \{\text{ 全てのポインテッドトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$f_1$: $T_1\to T$, $\in \{\text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 }{f}_1(p_1)=p\}$
$f_2$: $T_2\to T$, $\in \{\text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 }{f}_2(p_2)=p\}$
$f_1\vee f_2$: $:T_1\vee T_2\to T$, $=\text{ 当該ポインテッドマップ（写像）たちのウェッジサム（楔和） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_1\vee f_2\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $\pi :T_1+T_2\to T_1\vee T_2$を当該クウォシェント（商）マップ（写像）とする; ステップ2: 任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq T$を取り、$(f_1\vee f_2{)}^{-1}(U)\subseteq T_1\vee T_2$がオープン（開）であることを見るというゴールを設定する; ステップ3: ${\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))={f_1}^{-1}(U)\cup {f_2}^{-1}(U)$であることを見る; ステップ4: $(f_1\vee f_2{)}^{-1}(U)\subseteq T_1\vee T_2$はオープン（開）であることを見る。

ステップ1:

$\pi :T_1+T_2\to T_1\vee T_2$が当該クウォシェント（商）マップ（写像）である、ここで、$T_1+T_2$はトポロジカルサム。

ステップ2:

$U\subseteq T$を任意のオープンサブセット（開部分集合）とする。

私たちのゴールは、$(f_1\vee f_2{)}^{-1}(U)\subseteq T_1\vee T_2$がオープン（開）であることを見ることである。

それは、${\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))\cap T_1\subseteq T_1$および${\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))\cap T_2\subseteq T_2$がオープン（開）であるかどうかという問題である。

ステップ3:

${\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))={f_1}^{-1}(U)\cup {f_2}^{-1}(U)$であることを証明しよう。

$p^{\prime }\in {f_1}^{-1}(U)\cup {f_2}^{-1}(U)$は任意のものであるとする。ある$j$に対して$p^{\prime }\in {f_j}^{-1}(U)$。$f_j(p^{\prime })\in U$。

$p^{\prime }=p_j$である時、$\pi (p^{\prime })=[p_j]$。$(f_1\vee f_2)(\pi (p^{\prime }))=p=f_j(p^{\prime })\in U$; したがって、$p^{\prime }\in ((f_1\vee f_2)\circ \pi {)}^{-1}(U)={\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))$: 任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。

$p^{\prime }\ne p_j$である時、$\pi (p^{\prime })=p^{\prime }$、$(f_1\vee f_2)(\pi (p^{\prime }))=f_j(p^{\prime })\in U$; したがって、$p^{\prime }\in ((f_1\vee f_2)\circ \pi {)}^{-1}(U)={\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))$: 任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。

したがって、$p^{\prime }\in {\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))$、どちらにせよ。

$p^{\prime }\in {\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))$は任意のものであるとしよう。ある$j$に対して$p^{\prime }\in T_j$。$(f_1\vee f_2)(\pi (p^{\prime }))\in U$。

$p^{\prime }=p_j$である時、$\pi (p^{\prime })=[p_j]$、$(f_1\vee f_2)(\pi (p^{\prime }))=(f_1\vee f_2)([p_j])=f_j(p_j)\in U$; したがって、$p^{\prime }=p_j\in {f_j}^{-1}(U)$。

$p^{\prime }\ne p_j$である時、$\pi (p^{\prime })=p^{\prime }$、$(f_1\vee f_2)(\pi (p^{\prime }))=(f_1\vee f_2)(p^{\prime })=f_j(p^{\prime })\in U$; したがって、$p^{\prime }\in {f_j}^{-1}(U)$。

したがって、$p^{\prime }\in {f_1}^{-1}(U)\cup {f_2}^{-1}(U)$、どちらにせよ。

ステップ4:

したがって、${\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))\cap T_j=({f_1}^{-1}(U)\cup {f_2}^{-1}(U))\cap T_j={f_j}^{-1}(U)\cap T_j={f_j}^{-1}(U)$、それは$T_j$上でオープン（開）である、なぜなら、$f_j$はコンティニュアス（連続）である。

トポロジカルサムの定義によって、${\pi }^{-1}((f_1\vee f_2{)}^{-1}(U))\subseteq T_1+T_2$はオープン（開）である。

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参考資料

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