2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ポインテッドトポロジカルスペース（空間）たちのウェッジサム（楔和）の定義を知っている。
- 読者は、ポインテッドマップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、当該マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((T_1, p_1)\): \(\in \{\text{ 全てのポインテッドトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\((T_2, p_2)\): \(\in \{\text{ 全てのポインテッドトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_1 \vee T_2\): \(= \text{ 当該トポロジカルスペース（空間）たちのウェッジサム（楔和） }\)
\((T, p)\): \(\in \{\text{ 全てのポインテッドトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f_1\): \(T_1 \to T\), \(\in \{\text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 } f_1 (p_1) = p\}\)
\(f_2\): \(T_2 \to T\), \(\in \{\text{ 以下を満たす全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、 } f_2 (p_2) = p\}\)
\(f_1 \vee f_2\): \(: T_1 \vee T_2 \to T\), \(= \text{ 当該ポインテッドマップ（写像）たちのウェッジサム（楔和） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_1 \vee f_2 \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\pi: T_1 + T_2 \to T_1 \vee T_2\)を当該クウォシェント（商）マップ（写像）とする; ステップ2: 任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T\)を取り、\((f_1 \vee f_2)^{-1} (U) \subseteq T_1 \vee T_2\)がオープン（開）であることを見るというゴールを設定する; ステップ3: \(\pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U)) = {f_1}^{-1} (U) \cup {f_2}^{-1} (U)\)であることを見る; ステップ4: \((f_1 \vee f_2)^{-1} (U) \subseteq T_1 \vee T_2\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(\pi: T_1 + T_2 \to T_1 \vee T_2\)が当該クウォシェント（商）マップ（写像）である、ここで、\(T_1 + T_2\)はトポロジカルサム。
ステップ2:
\(U \subseteq T\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）とする。
私たちのゴールは、\((f_1 \vee f_2)^{-1} (U) \subseteq T_1 \vee T_2\)がオープン（開）であることを見ることである。
それは、\(\pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U)) \cap T_1 \subseteq T_1\)および\(\pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U)) \cap T_2 \subseteq T_2\)がオープン（開）であるかどうかという問題である。
ステップ3:
\(\pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U)) = {f_1}^{-1} (U) \cup {f_2}^{-1} (U)\)であることを証明しよう。
\(p' \in {f_1}^{-1} (U) \cup {f_2}^{-1} (U)\)は任意のものであるとする。ある\(j\)に対して\(p' \in {f_j}^{-1} (U)\)。\(f_j (p') \in U\)。
\(p' = p_j\)である時、\(\pi (p') = [p_j]\)。\((f_1 \vee f_2) (\pi (p')) = p = f_j (p') \in U\); したがって、\(p' \in ((f_1 \vee f_2) \circ \pi)^{-1} (U) = \pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U))\): 任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。
\(p' \neq p_j\)である時、\(\pi (p') = p'\)、\((f_1 \vee f_2) (\pi (p')) = f_j (p') \in U\); したがって、\(p' \in ((f_1 \vee f_2) \circ \pi)^{-1} (U) = \pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U))\): 任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。
したがって、\(p' \in \pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U))\)、どちらにせよ。
\(p' \in \pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U))\)は任意のものであるとしよう。ある\(j\)に対して\(p' \in T_j\)。\((f_1 \vee f_2) (\pi (p')) \in U\)。
\(p' = p_j\)である時、\(\pi (p') = [p_j]\)、\((f_1 \vee f_2) (\pi (p')) = (f_1 \vee f_2) ([p_j]) = f_j (p_j) \in U\); したがって、\(p' = p_j \in {f_j}^{-1} (U)\)。
\(p' \neq p_j\)である時、\(\pi (p') = p'\)、\((f_1 \vee f_2) (\pi (p')) = (f_1 \vee f_2) (p') = f_j (p') \in U\); したがって、\(p' \in {f_j}^{-1} (U)\)。
したがって、\(p' \in {f_1}^{-1} (U) \cup {f_2}^{-1} (U)\)、どちらにせよ。
ステップ4:
したがって、\(\pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U)) \cap T_j = ({f_1}^{-1} (U) \cup {f_2}^{-1} (U)) \cap T_j = {f_j}^{-1} (U) \cap T_j = {f_j}^{-1} (U)\)、それは\(T_j\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f_j\)はコンティニュアス（連続）である。
トポロジカルサムの定義によって、\(\pi^{-1} ((f_1 \vee f_2)^{-1} (U)) \subseteq T_1 + T_2\)はオープン（開）である。
