ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）または任意のクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）から同一ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）または同一ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)
\(\mathbb{H}^d\): \(= \text{ 当該クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }\)
\(S_1\): \(\subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)
\(S_2\): \(\subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{H}^d\)
\(f\): \(: S_1 \to S_2, s \mapsto s\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
\(S_1\)および\(S_2\)は、\(f\)が可能なようなものである。
2: 注
本命題は明らかだと思えるかもしれないが、それを1度決定的に証明して、良心に対して安らかになろう、'バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む'の定義に基づいて。
要点は、サブセット（部分集合）は、\(\mathbb{R}^d\)のものではなくて\(\mathbb{H}^d\)のものであるかもしれない、また、\(S_1\)または\(S_2\)はオープンサブセット（開部分集合）ではなく任意のサブセット（部分集合）であるかもしれない、ということ。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S_1 \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{R}^d\)と仮定し、チャートたち\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)および\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)を取り、\(id \circ f \circ {id}^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{R}^d)\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ2: \(S_1 \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{H}^d\)と仮定し、チャートたち\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)および\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)を取り、\(id \circ f \circ {id}^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{H}^d)\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ3: \(S_1 \subseteq \mathbb{H}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{R}^d\)と仮定し、チャートたち\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)および\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)を取り、\(id \circ f \circ {id}^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{R}^d)\)は\(C^\infty\)であることを見る; ステップ4: \(S_1 \subseteq \mathbb{H}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{H}^d\)と仮定し、チャートたち\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)および\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)を取り、\(id \circ f \circ {id}^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{H}^d)\)は\(C^\infty\)であることを見る。
全てのステップたちはほとんど同じであるが、それらの全てを実直に行なおう。
ステップ1:
\(S_1 \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{R}^d\)であると仮定しよう。
\(s \in S_1\)は任意のものであるとしよう。
\(s\)の周りのチャート\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)および\(f (s)\)の周りのチャート\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)を取ろう。
\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{R}^d)\)は\(id (s)\)において\(C^\infty\)であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
\(id (s)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{id (s)} := \mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)の\(C^\infty\)拡張\(f': \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, r \mapsto r\)を取ろう。
\(f'\)は本当に\(C^\infty\)である、なぜなら、それは、\(\mathbb{R}^d\)から\(\mathbb{R}^d\)の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。
\(f' \vert_{id (S_1)} = id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)、明らかに。
したがって、\(f\)は各\(s \in S_1\)において\(C^\infty\)である、したがって、\(f\)は全体で\(C^\infty\)である。
ステップ2:
\(S_1 \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{H}^d\)であると仮定しよう。
\(s \in S_1\)は任意のものであるとしよう。
\(s\)の周りのチャート\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)および\(f (s)\)の周りのチャート\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)を取ろう。
\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{H}^d)\)は\(id (s)\)において\(C^\infty\)であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
\(id (s)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{id (s)} := \mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)の\(C^\infty\)拡張\(f': \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, r \mapsto r\)を取ろう。
\(f'\)は本当に\(C^\infty\)である、なぜなら、それは、\(\mathbb{R}^d\)から\(\mathbb{R}^d\)の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。
\(f' \vert_{id (S_1)} = id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)、明らかに。
したがって、\(f\)は各\(s \in S_1\)において\(C^\infty\)である、したがって、\(f\)は全体で\(C^\infty\)である。
ステップ3:
\(S_1 \subseteq \mathbb{H}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{R}^d\)であると仮定しよう。
\(s \in S_1\)は任意のものであるとしよう。
\(s\)の周りのチャート\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)および\(f (s)\)の周りのチャート\((\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d, id)\)を取ろう。
\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{R}^d)\)は\(id (s)\)において\(C^\infty\)であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
\(id (s)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{id (s)} := \mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)の\(C^\infty\)拡張\(f': \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, r \mapsto r\)を取ろう。
\(f'\)は本当に\(C^\infty\)である、なぜなら、それは、\(\mathbb{R}^d\)から\(\mathbb{R}^d\)の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。
\(f' \vert_{id (S_1)} = id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)、明らかに。
したがって、\(f\)は各\(s \in S_1\)において\(C^\infty\)である、したがって、\(f\)は全体で\(C^\infty\)である。
ステップ4:
\(S_1 \subseteq \mathbb{H}^d\)および\(S_2 \subseteq \mathbb{H}^d\)であると仮定しよう。
\(s \in S_1\)は任意のものであるとしよう。
\(s\)の周りのチャート\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)および\(f (s)\)の周りのチャート\((\mathbb{H}^d \subseteq \mathbb{H}^d, id)\)を取ろう。
\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}: id (S_1) \to id (\mathbb{H}^d)\)は\(id (s)\)において\(C^\infty\)であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義によって。
\(id (s)\)のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{id (s)} := \mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^d\)および\(id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)の\(C^\infty\)拡張\(f': \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, r \mapsto r\)を取ろう。
\(f'\)は本当に\(C^\infty\)である、なぜなら、それは、\(\mathbb{R}^d\)から\(\mathbb{R}^d\)の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。
\(f' \vert_{id (S_1)} = id \circ f \circ id^{-1} \vert_{id (S_1)}\)、明らかに。
したがって、\(f\)は各\(s \in S_1\)において\(C^\infty\)である、したがって、\(f\)は全体で\(C^\infty\)である。
