860: ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）からユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンC∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）はC∞である

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）からユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または任意のクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）から同一ディメンショナル（次元）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）または同一ディメンショナル（次元）クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^d$: $=\text{ 当該ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体） }$
${\mathbb{H}}^d$: $=\text{ 当該クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き }$
$S_1$: $\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$
$S_2$: $\subseteq {\mathbb{R}}^d\text{ または }{\mathbb{H}}^d$
$f$: $:S_1\to S_2,s\mapsto s$
//

ステートメント（言明）たち:
$f\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マップ（写像）たち }\}$
//

$S_1$および$S_2$は、$f$が可能なようなものである。

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2: 注

本命題は明らかだと思えるかもしれないが、それを1度決定的に証明して、良心に対して安らかになろう、'バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む'の定義に基づいて。

要点は、サブセット（部分集合）は、${\mathbb{R}}^d$のものではなくて${\mathbb{H}}^d$のものであるかもしれない、また、$S_1$または$S_2$はオープンサブセット（開部分集合）ではなく任意のサブセット（部分集合）であるかもしれない、ということ。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $S_1\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{R}}^d$と仮定し、チャートたち$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$および$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$を取り、$id\circ f\circ {id}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{R}}^d)$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ2: $S_1\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{H}}^d$と仮定し、チャートたち$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$および$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$を取り、$id\circ f\circ {id}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{H}}^d)$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ3: $S_1\subseteq {\mathbb{H}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{R}}^d$と仮定し、チャートたち$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$および$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$を取り、$id\circ f\circ {id}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{R}}^d)$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る; ステップ4: $S_1\subseteq {\mathbb{H}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{H}}^d$と仮定し、チャートたち$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$および$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$を取り、$id\circ f\circ {id}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{H}}^d)$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見る。

全てのステップたちはほとんど同じであるが、それらの全てを実直に行なおう。

ステップ1:

$S_1\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{R}}^d$であると仮定しよう。

$s\in S_1$は任意のものであるとしよう。

$s$の周りのチャート$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$および$f(s)$の周りのチャート$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$を取ろう。

$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{R}}^d)$は$id(s)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって。

$id(s)$のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{id(s)}:={\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$の$C^{\mathrm{\infty }}$拡張$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d,r\mapsto r$を取ろう。

$f^{\prime }$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは、${\mathbb{R}}^d$から${\mathbb{R}}^d$の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。

$f^{\prime }{|}_{id(S_1)}=id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$、明らかに。

したがって、$f$は各$s\in S_1$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、$f$は全体で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ2:

$S_1\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{H}}^d$であると仮定しよう。

$s\in S_1$は任意のものであるとしよう。

$s$の周りのチャート$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$および$f(s)$の周りのチャート$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$を取ろう。

$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{H}}^d)$は$id(s)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって。

$id(s)$のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{id(s)}:={\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$の$C^{\mathrm{\infty }}$拡張$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d,r\mapsto r$を取ろう。

$f^{\prime }$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは、${\mathbb{R}}^d$から${\mathbb{R}}^d$の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。

$f^{\prime }{|}_{id(S_1)}=id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$、明らかに。

したがって、$f$は各$s\in S_1$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、$f$は全体で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ3:

$S_1\subseteq {\mathbb{H}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{R}}^d$であると仮定しよう。

$s\in S_1$は任意のものであるとしよう。

$s$の周りのチャート$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$および$f(s)$の周りのチャート$({\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d,id)$を取ろう。

$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{R}}^d)$は$id(s)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって。

$id(s)$のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{id(s)}:={\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$の$C^{\mathrm{\infty }}$拡張$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d,r\mapsto r$を取ろう。

$f^{\prime }$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは、${\mathbb{R}}^d$から${\mathbb{R}}^d$の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。

$f^{\prime }{|}_{id(S_1)}=id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$、明らかに。

したがって、$f$は各$s\in S_1$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、$f$は全体で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

ステップ4:

$S_1\subseteq {\mathbb{H}}^d$および$S_2\subseteq {\mathbb{H}}^d$であると仮定しよう。

$s\in S_1$は任意のものであるとしよう。

$s$の周りのチャート$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$および$f(s)$の周りのチャート$({\mathbb{H}}^d\subseteq {\mathbb{H}}^d,id)$を取ろう。

$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}:id(S_1)\to id({\mathbb{H}}^d)$は$id(s)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう、それが、本命題が言っていることである、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、の定義によって。

$id(s)$のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{id(s)}:={\mathbb{R}}^d\subseteq {\mathbb{R}}^d$および$id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$の$C^{\mathrm{\infty }}$拡張$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d,r\mapsto r$を取ろう。

$f^{\prime }$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは、${\mathbb{R}}^d$から${\mathbb{R}}^d$の上へのアイデンティティマップ（恒等写像）である。

$f^{\prime }{|}_{id(S_1)}=id\circ f\circ i{d}^{-1}{|}_{id(S_1)}$、明らかに。

したがって、$f$は各$s\in S_1$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、したがって、$f$は全体で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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