881: C∞ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿ったC∞セクション（断面）は、ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートがサブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできる

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）は、ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートがサブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）からフィールド（体）の中へのマップ（写像）のサポートの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）および当該ベーススペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からの任意のセクション（断面）で任意のポイントにおいて$C^k$である、ここで、$0<k$、ものに対して、ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題を認めている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）に従属するユニティー（1）の$C^{\mathrm{\infty }}$パーティションがあるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全ての }d\text{ ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$C$: $\in \{M\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}$
$U_C$: $\in \{C\text{ の }M\text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}$
$s$: $:C\subseteq M\to E$, $\in \{C\text{ に沿った全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ セクション（断面）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }{s}^{\prime }:M\to E\in \{\pi \text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ セクション（断面）たち }\}(s^{\prime }{|}_C=s\wedge supp{s}^{\prime }\subseteq U_C)$
//

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2: 自然言語記述

ランク$k$の任意の$d$-ディメンショナル（次元）$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$(E,M,\pi )$、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）$C\subseteq M$、$C$の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）$U_C\subseteq M$に対して、$C$に沿った任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）$s:C\to E$は、$\pi$の以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）$s^{\prime }:M\to E$、つまり、$s^{\prime }{|}_C=s$および$supp{s}^{\prime }\subseteq U_C$、へ拡張できる。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: 各ポイント$p\in C$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M$およびある$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）$s_p^{\prime }:U_p\to E$、つまり、$U_p\subseteq U_C$および$s_p^{\prime }{|}_{U_p\cap C}=s{|}_{C\cap U_p}$、を取る; ステップ 2: $M$のオープンカバー（開被覆）$\{U_p:p\in C\}\cup \{M\setminus C\}$および当該カバー（被覆）に従属するユニティー（1）のパーティション$\{{\rho }_p|p\in C\}\cup \{{\rho }_0\}$を取る; ステップ3: $s_p^{″}:M\to E$を、$U_p$上では${\rho }_p{s}_p^{\prime }$と、$M\setminus U_p$上では$0$と定義する; ステップ4: $s^{\prime }:=\sum _{p\in C}{s}_p^{″}$を定義する; ステップ5: $s^{\prime }$は諸条件たちを満たすことを見る。

ステップ1:

各ポイント$p\in C$に対して、以下を満たす、$p$のあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M$およびある$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）$s_p^{\prime }:U_p\to E$、つまり、$s_p^{\prime }{|}_{U_p\cap C}=s{|}_{C\cap U_p}$、がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）および当該ベーススペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からの任意のセクション（断面）で任意のポイントにおいて$C^k$である、ここで、$0<k$、ものに対して、ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題によって。

$U_p$は、$U_p\subseteq U_C$であるように取ることができる: もしも、そうでなければ、$U_p\cap U_C$を$U_p$の代わりに取ることができ、$C^{\mathrm{\infty }}$はそれによって損なわれない、バウンダリー（境界）付き任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるもの、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて$C^k$であるという命題によって。したがって、$U_p\subseteq U_C$であると仮定しよう。

ステップ2:

$\{U_p:p\in C\}\cup \{M\setminus C\}$は$M$のオープンカバー（開被覆）であり、当該カバー（被覆）に従属するあるユニティー（1）のパーティション$\{{\rho }_p|p\in C\}\cup \{{\rho }_0\}$がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）に従属するユニティー（1）の$C^{\mathrm{\infty }}$パーティションがあるという命題によって。

ステップ3:

$s_p^{″}:M\to E$を、$U_p$上では${\rho }_p{s}_p^{\prime }$と、$M\setminus U_p$上では$0$と定義しよう。

$s_p^{″}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、それは$U_p$上にて$C^{\mathrm{\infty }}$であり、オープン（開）な$M\setminus supp{\rho }_p$上にて$0$である、したがって、そこで$C^{\mathrm{\infty }}$である、そして、$M=U_p\cup (M\setminus supp{\rho }_p)$、$supp{\rho }_p\subseteq U_p$であるから。

ステップ4:

$s^{\prime }:=\sum _{p\in C}{s}_p^{″}$と定義しよう、それは、ウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、任意のポイント$p^{\prime }\in M$において、いくつかファイナイト（有限）数の項たちのみが非ゼロである、ユニティー（1）のパーティションの定義によって。

ステップ5:

$s^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、各ポイント$p^{\prime }\in M$に対して、あるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p^{\prime }}^{\prime }\subseteq M$でその上で当該和があるファイナイト（有限）和であるものがあり、それは、いくつかの$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）たちの和である。

各ポイント$p^{\prime }\in C$に対して、$s^{\prime }(p^{\prime })=\sum _{p\in C^{\prime }}{\rho }_p(p^{\prime })s_p^{\prime }(p^{\prime })$、あるファイナイト（有限）$C^{\prime }\subseteq C$に対して、しかし、$s_p^{\prime }(p^{\prime })=s(p^{\prime })$、したがって、$=\sum _{p\in C^{\prime }}{\rho }_p(p^{\prime })s(p^{\prime })=(\sum _{p\in C}{\rho }_p(p^{\prime })+{\rho }_0(p^{\prime }))s(p^{\prime })=s(p^{\prime })$、なぜなら、$p\in C\setminus C^{\prime }$に対する${\rho }_p(p^{\prime })$および${\rho }_0(p^{\prime })$はいずれにせよ$0$である。したがって、$s^{\prime }$は本当に$s$の$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）である。

$supp{s}^{\prime }\subseteq \overline{{\cup }_{p\in C}supp{\rho }_p}={\cup }_{p\in C}\overline{supp{\rho }_p}={\cup }_{p\in C}supp{\rho }_p\subseteq {\cup }_{p\in C}{U}_p\subseteq U_C$、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。

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参考資料

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