\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った\(C^\infty\)セクション（断面）は、ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートがサブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）からフィールド（体）の中へのマップ（写像）のサポートの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）および当該ベーススペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からの任意のセクション（断面）で任意のポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるある\(C^k\)エクステンション（拡張）があるという命題を認めている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）に従属するユニティー（1）の\(C^\infty\)パーティションがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の\(C^\infty\)セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできる
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } d \text{ ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{M\text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(U_C\): \(\in \{C \text{ の } M \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\)
\(s\): \(: C \subseteq M \to E\), \(\in \{C \text{ に沿った全ての } C^\infty \text{ セクション（断面）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists s': M \to E \in \{\pi \text{ の全ての } C^\infty \text{ セクション（断面）たち }\} (s' \vert_C = s \land supp \text{ } s' \subseteq U_C)\)
//
2: 自然言語記述
ランク\(k\)の任意の\(d\)-ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\((E, M, \pi)\)、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）\(C \subseteq M\)、\(C\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_C \subseteq M\)に対して、\(C\)に沿った任意の\(C^\infty\)セクション（断面）\(s: C \to E\)は、\(\pi\)の以下を満たすある\(C^\infty\)セクション（断面）\(s': M \to E\)、つまり、\(s' \vert_C = s\)および\(supp \text{ } s' \subseteq U_C\)、へ拡張できる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各ポイント\(p \in C\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M\)およびある\(C^\infty\)セクション（断面）\(s'_p: U_p \to E\)、つまり、\(U_p \subseteq U_C\)および\(s'_p \vert_{U_p \cap C} = s \vert_{C \cap U_p}\)、を取る; ステップ 2: \(M\)のオープンカバー（開被覆）\(\{U_p: p \in C\} \cup \{M \setminus C\}\)および当該カバー（被覆）に従属するユニティー（1）のパーティション\(\{\rho_p \vert p \in C\} \cup \{\rho_0\}\)を取る; ステップ3: \(s''_p: M \to E\)を、\(U_p\)上では\(\rho_p s'_p\)と、\(M \setminus U_p\)上では\(0\)と定義する; ステップ4: \(s' := \sum_{p \in C} s''_p\)を定義する; ステップ5: \(s'\)は諸条件たちを満たすことを見る。
ステップ1:
各ポイント\(p \in C\)に対して、以下を満たす、\(p\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M\)およびある\(C^\infty\)セクション（断面）\(s'_p: U_p \to E\)、つまり、\(s'_p \vert_{U_p \cap C} = s \vert_{C \cap U_p}\)、がある、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）および当該ベーススペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からの任意のセクション（断面）で任意のポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上におけるある\(C^k\)エクステンション（拡張）があるという命題によって。
\(U_p\)は、\(U_p \subseteq U_C\)であるように取ることができる: もしも、そうでなければ、\(U_p \cap U_C\)を\(U_p\)の代わりに取ることができ、\(C^\infty\)はそれによって損なわれない、バウンダリー（境界）付き任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、当該ポイントを包含する任意のドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。したがって、\(U_p \subseteq U_C\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(\{U_p: p \in C\} \cup \{M \setminus C\}\)は\(M\)のオープンカバー（開被覆）であり、当該カバー（被覆）に従属するあるユニティー（1）のパーティション\(\{\rho_p \vert p \in C\} \cup \{\rho_0\}\)がある、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、当該カバー（被覆）に従属するユニティー（1）の\(C^\infty\)パーティションがあるという命題によって。
ステップ3:
\(s''_p: M \to E\)を、\(U_p\)上では\(\rho_p s'_p\)と、\(M \setminus U_p\)上では\(0\)と定義しよう。
\(s''_p\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(U_p\)上にて\(C^\infty\)であり、オープン（開）な\(M \setminus supp \text{ } \rho_p\)上にて\(0\)である、したがって、そこで\(C^\infty\)である、そして、\(M = U_p \cup (M \setminus supp \text{ } \rho_p)\)、\(supp \text{ } \rho_p \subseteq U_p\)であるから。
ステップ4:
\(s' := \sum_{p \in C} s''_p\)と定義しよう、それは、ウェルデファインド（妥当に定義された）である、なぜなら、任意のポイント\(p' \in M\)において、いくつかファイナイト（有限）数の項たちのみが非ゼロである、ユニティー（1）のパーティションの定義によって。
ステップ5:
\(s'\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、各ポイント\(p' \in M\)に対して、あるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_{p'} \subseteq M\)でその上で当該和があるファイナイト（有限）和であるものがあり、それは、いくつかの\(C^\infty\)セクション（断面）たちの和である。
各ポイント\(p' \in C\)に対して、\(s' (p') = \sum_{p \in C'} \rho_p (p') s'_p (p')\)、あるファイナイト（有限）\(C' \subseteq C\)に対して、しかし、\(s'_p (p') = s (p')\)、したがって、\(= \sum_{p \in C'} \rho_p (p') s (p') = (\sum_{p \in C} \rho_p (p') + \rho_0 (p')) s (p') = s (p')\)、なぜなら、\(p \in C \setminus C'\)に対する\(\rho_p (p')\)および\(\rho_0 (p')\)はいずれにせよ\(0\)である。したがって、\(s'\)は本当に\(s\)の\(C^\infty\)エクステンション（拡張）である。
\(supp \text{ } s' \subseteq \overline{\cup_{p \in C} supp \text{ } \rho_p} = \cup_{p \in C} \overline{supp \text{ } \rho_p} = \cup_{p \in C} supp \text{ } \rho_p \subseteq \cup_{p \in C} U_p \subseteq U_C\)、任意のトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）な任意のセット（集合）に対して、当該サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
