メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からのマップ（写像）のコドメイン（余域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義
話題
About: メジャー（測度）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からのマップ（写像）のコドメイン（余域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (S_1, A_1)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち }\}\)
\( S_2\): \(\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}\)
\( f\): \(: S_1 \to S_2\)
\(*A_2\): \(= \{s \subseteq S_2: f^{-1} (s) \in A_1\}\), \(\in S_2 \{\text{ の全ての } \sigma \text{ -アルジェブラ（多元環）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(A_2\)は本当に\(S_2\)の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることを見よう。
1) \(S_2 \in A_2\): \(f^{-1} (S_2) = S_1 \in A_1\)。
2) \(\forall a \in A_2 (S_2 \setminus a \in A_2)\): \(f^{-1} (S_2 \setminus a) = f^{-1} (S_2) \setminus f^{-1} (a)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）マイナス任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であるという命題によって、\(= S_1 \setminus f^{-1} (a)\)、しかし、\(f^{-1} (a) \in A_1\)、したがって、\(S_1 \setminus f^{-1} (a) \in A_1\)。
3) \(\forall s: \mathbb{N} \to A_2 (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j) \in A_2)\): \(f^{-1} (\cup_{j \in \mathbb{N}} s (j)) = \cup_{j \in \mathbb{N}} f^{-1} (s (j))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、しかし、\(f^{-1} (s (j)) \in A_2\)、したがって、\(\cup_{j \in \mathbb{N}} f^{-1} (s (j)) \in A_1\)。
