964: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）たちは、非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたちである

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フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）たちは、非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたちであることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのイリデューシブル（約分不能）たちは、非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたち全てであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F[x]$: $=F\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$\{F[x]\text{ 上の全てのイリデューシブル（約分不能）要素たち }\}=\{p(x)\in \{F[x]\text{ 上の全ての非コンスタント（定数）たち }\}|p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)⟹(p^{″}(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てコンスタント（定数）たち }\})\vee (p^{\prime }(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てコンスタント（定数）たち }\})\}$
//

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2: 注

もしも、あなたが、"ステートメント（言明）たち"がいかに"非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたち全て"に相当するのかと訝しんでいるとしたら、$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)p^{‴}(x)$だと仮定して、もしも、2つの非コンスタント（定数）因子たち、例えば、$p^{\prime }(x)$および$p^{‴}(x)$、があったとしたら、$p(x)=(p^{\prime }(x)p^{″}(x))p^{‴}(x)$で、$p^{\prime }(x)p^{″}(x)$も$p^{‴}(x)$もコンスタント（定数）でないということになる、"ステートメント（言明）たちに反する矛盾; もしも、コンスタント（定数）因子がなかったら、$p(x)=(p^{\prime }(x)p^{″}(x))p^{‴}(x)$で、$p^{\prime }(x)p^{″}(x)$も$p^{‴}(x)$もコンスタント（定数）でないことになる、"ステートメント（言明）たち"に反する矛盾。

任意のインテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）要素は最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できるという命題と比較のこと。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $p(x)\in F[x]$は任意のイリデューシブル（約分不能）要素とし、$p^{\prime }(x)$および$p^{″}(x)$が非コンスタント（定数）であったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ2: $p(x)\in \{p(x)\in \{F[x]\text{ 上の全ての非コンスタント（定数）たち }\}|p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)⟹(p^{″}(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てコンスタント（定数）たち }\})\vee (p^{\prime }(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てコンスタント（定数）たち }\})\}$とし、$p(x)$はイリデューシブル（約分不能）要素であることを見る。

ステップ1:

$p(x)\in F[x]$は任意のイリデューシブル（約分不能）要素であるとしよう。

$p(x)$は非コンスタント（定数）である、なぜなら、任意のコンスタント（定数）はユニットである、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって、そして、任意のユニットはイリデューシブル（約分不能）要素でない、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって。

$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)$であると仮定しよう。

$p^{\prime }(x)$および$p^{″}(x)$は非コンスタント（定数）たちであったと仮定しよう。$p^{\prime }(x)$も$p^{″}(x)$もユニットではないことになる、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって。すると、$p(x)$はイリデューシブル（約分不能）ではないことになる、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって、矛盾。

したがって、$p^{\prime }(x)$または$p^{″}(x)$はコンスタント（定数）である。

それが意味するのは、$p(x)\in \{p(x)\in \{F[x]\text{ 上の全ての非コンスタント（定数）たち }\}|p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)⟹(p^{″}(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てのコンスタント（定数）たち }\})\vee (p^{\prime }(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てのコンスタント（定数）たち }\})\}$.

ところで、$p^{″}(x)$がコンスタント（定数）である時は、$p^{\prime }(x)$は非コンスタント（定数）である、なぜなら、そうでなければ、$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)$は非コンスタント（定数）ではないことになる、矛盾; $p^{\prime }(x)$がコンスタント（定数）である時は、$p^{″}(x)$は非コンスタント（定数）である、なぜなら、そうでなければ、$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)$は非コンスタント（定数）ではないことになる、矛盾。

ステップ2:

$p(x)\in \{p(x)\in \{F[x]\text{ 上の全ての非コンスタント（定数）たち }\}|p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)⟹(p^{″}(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てのコンスタント（定数）たち }\})\vee (p^{\prime }(x)\in \{F[x]\text{ 上の全てのコンスタント（定数）たち }\})\}$は任意のものであるとしよう。

$p(x)\ne 0$。

$p(x)$は非コンスタント（定数）であるから、$p(x)$はユニットではない、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって。

$p(x)=p^{\prime }(x)p^{″}(x)$である時はいつも、$p^{″}(x)$がコンスタント（定数）であるか$p^{\prime }(x)$がコンスタント（定数）である。しかし、前者ケースに対しては、$p^{″}(x)$はユニットである、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって、そして、後者ケースに対しては、$p^{\prime }(x)$はユニットである、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、全てのユニットたちは全ての非ゼロコンスタント（定数）たちであるという命題によって。

したがって、$p(x)$はイリデューシブル（約分不能）である、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって。

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参考資料

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