フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、リング（環）のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）は、ユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、という命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアンドメインはプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てフィールド（体）たち }\}\)
\(F [x]\): \(= F \text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }\)
\(p (x)\): \(\in F [x]\), \(\in \{\text{ 全てのイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）たち }\}\)
\(I_b (p (x))\): \(= F [x] \text{ の } p (x) \text{ によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(I_b (p (x)) \in \{\text{ 全てのマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(F [x]\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であることを見る; ステップ2: \(I_b (p (x)) \subset F [x]\)であることを見る; ステップ3: 以下を満たすあるアイディアル（イデアル）\(I\)、つまり、\(I_b (p (x)) \subseteq I\)、があると仮定し、\(I = I_b (p (x))\)または\(I = F [x]\)であることを見る。
ステップ1:
\(F [x]\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であることを見よう。
\(F [x]\)はユークリディアンドメインである、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）は、ユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、という命題によって。
\(F [x]\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である、任意のユークリディアンドメインはプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題によって。
ステップ2:
\(I_b (p (x)) \subset F [x]\)であることを見よう。
\(F [x]\)はコミュータティブ（可換）であるから、\(I_b (p (x)) = I_l (p (x)) = F [x] p (x)\)。
\(p (x)\)はポジティブ（正）-ディグリー（次元）を持つ、なぜなら、各0-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）は\(0\)またはユニットである、それは、イリデューシブル（約分不能）要素ではない、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって。
したがって、\(F [x] p (x)\)の各要素は\(0\)であるかポジティブ（正）-ディグリー（次元）を持つかであり、それが意味するのは、非ゼロ0-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）はその中に包含されていないということ、それが意味するのは、\(I_b (p (x)) \subset F [x]\)であるということ。
ステップ3:
以下を満たすあるアイディアル（イデアル）\(I\)、つまり、\(I_b (p (x)) \subseteq I\)、があると仮定しよう。
\(F [x]\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるから、\(I\)はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）\(I_b (q (x))\)である。
\(I_b (q (x)) = I_l (q (x))\)、前と同様。
\(p (x) \in I_b (p (x)) \subseteq I_b (q (x)) = I_l (q (x))\)であるから、\(p (x) = p' (x) q (x)\)、ある\(p' (x) \in F [x]\)に対して。
\(p (x)\)はイリデューシブル（約分不能）であるから、\(p' (x)\)が\(0\)-ディグリー（次元）を持つか\(q (x)\)が\(0\)-ディグリー（次元）を持つかである。
\(p' (x)\)は\(0\)-ディグリー（次元）を持つ時は、\(q (x)\)は\(p (x)\)のコンスタント（定数）倍である、それが含意するのは、\(I_b (p (x)) = I_b (q (x)) = I\)。
\(q (x)\)が\(0\)-ディグリー（次元）を持つ時は、\(I = I_b (q (x)) = I_l (q (x)) = F [x]\)。
