956: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）である

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フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
• 読者は、リング（環）のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）は、ユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、という命題を認めている。
• 読者は、任意のユークリディアンドメインはプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、任意のイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てフィールド（体）たち }\}$
$F[x]$: $=F\text{ 上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） }$
$p(x)$: $\in F[x]$, $\in \{\text{ 全てのイリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）たち }\}$
$I_b(p(x))$: $=F[x]\text{ の }p(x)\text{ によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル） }$
//

ステートメント（言明）たち:
$I_b(p(x))\in \{\text{ 全てのマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）たち }\}$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $F[x]$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であることを見る; ステップ2: $I_b(p(x))\subset F[x]$であることを見る; ステップ3: 以下を満たすあるアイディアル（イデアル）$I$、つまり、$I_b(p(x))\subseteq I$、があると仮定し、$I=I_b(p(x))$または$I=F[x]$であることを見る。

ステップ1:

$F[x]$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であることを見よう。

$F[x]$はユークリディアンドメインである、任意のフィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）は、ユークリディアンドメインである、サイズファンクション（関数）をポリノミアル（多項式）のディグリー（次元）を取るものとして、という命題によって。

$F[x]$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である、任意のユークリディアンドメインはプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるという命題によって。

ステップ2:

$I_b(p(x))\subset F[x]$であることを見よう。

$F[x]$はコミュータティブ（可換）であるから、$I_b(p(x))=I_l(p(x))=F[x]p(x)$。

$p(x)$はポジティブ（正）-ディグリー（次元）を持つ、なぜなら、各0-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）は$0$またはユニットである、それは、イリデューシブル（約分不能）要素ではない、コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義によって。

したがって、$F[x]p(x)$の各要素は$0$であるかポジティブ（正）-ディグリー（次元）を持つかであり、それが意味するのは、非ゼロ0-ディグリー（次元）ポリノミアル（多項式）はその中に包含されていないということ、それが意味するのは、$I_b(p(x))\subset F[x]$であるということ。

ステップ3:

以下を満たすあるアイディアル（イデアル）$I$、つまり、$I_b(p(x))\subseteq I$、があると仮定しよう。

$F[x]$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であるから、$I$はプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）$I_b(q(x))$である。

$I_b(q(x))=I_l(q(x))$、前と同様。

$p(x)\in I_b(p(x))\subseteq I_b(q(x))=I_l(q(x))$であるから、$p(x)=p^{\prime }(x)q(x)$、ある$p^{\prime }(x)\in F[x]$に対して。

$p(x)$はイリデューシブル（約分不能）であるから、$p^{\prime }(x)$が$0$-ディグリー（次元）を持つか$q(x)$が$0$-ディグリー（次元）を持つかである。

$p^{\prime }(x)$は$0$-ディグリー（次元）を持つ時は、$q(x)$は$p(x)$のコンスタント（定数）倍である、それが含意するのは、$I_b(p(x))=I_b(q(x))=I$。

$q(x)$が$0$-ディグリー（次元）を持つ時は、$I=I_b(q(x))=I_l(q(x))=F[x]$。

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参考資料

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