1032: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）

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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V^{\ast }$: $=L(V:F)$
$J$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$B$: $\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }V\}$, $=\{b_j|j\in J\}$
$B^{\ast }$: $=B\text{ のデュアルベーシス（基底） }$、$=\{b^j|j\in J\}$
$\ast f$: $:V\to V^{\ast },v^j{b}_j\mapsto \sum _{j\in J}{v}^j{b}^j$, $\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
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コンディションたち:
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$f$は$B$の選択に依存する（"注"内にて見られるとおり）、それが、本概念が"元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関する"付きで呼ばれている理由である。

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2: 注

$f$は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

$f$は$B$の選択に依存することを見よう。

$B^{\prime }=\{b_j^{\prime }|j\in J\}$を$V$に対する別のベーシス（基底）としよう。

$b_j^{\prime }=b_l{M}_j^l$、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）$M$に対して。したがって、$b_j=b_l^{\prime }{M^{-1}}_j^l$。

$B^{\prime }$のデュアルベーシス（基底）$B^{\prime \ast }=\{b^{\prime j}|j\in J\}$は$\{{M^{-1}}_l^j{b}^l\}$である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。

$B^{\prime }$に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f^{\prime }:V\to V^{\ast }$は$b_j={M^{-1}}_j^l{b}_l^{\prime }$を$\sum _{l\in J}{M^{-1}}_j^l{b}^{\prime l}=\sum _{l\in J}{M^{-1}}_j^l{M^{-1}}_m^l{b}^m$へマップする、それは一般に$b^j$に等しくない。実のところ、$M$がオーソゴーナル（対角）である時は、$M_l^m={M^{-1}}_m^l$、そして、$=\sum _{m\in J}{M^{-1}}_j^l{M}_l^m{b}^m=\sum _{m\in J}{\delta }_j^m{b}^m=b^j$。

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参考資料

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