ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V^*\): \(= L (V: F)\)
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( B\): \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\( B^*\): \(= B \text{ のデュアルベーシス（基底） }\)、\(= \{b^j \vert j \in J\}\)
\(*f\): \(: V \to V^*, v^j b_j \mapsto \sum_{j \in J} v^j b^j\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
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コンディションたち:
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\(f\)は\(B\)の選択に依存する（"注"内にて見られるとおり）、それが、本概念が"元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関する"付きで呼ばれている理由である。
2: 注
\(f\)は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(f\)は\(B\)の選択に依存することを見よう。
\(B' = \{b'_j \vert j \in J\}\)を\(V\)に対する別のベーシス（基底）としよう。
\(b'_j = b_l M^l_j\)、あるインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）\(M\)に対して。したがって、\(b_j = b'_l {M^{-1}}^l_j\)。
\(B'\)のデュアルベーシス（基底）\(B'^* = \{b'^j \vert j \in J\}\)は\(\{{M^{-1}}^j_l b^l\}\)である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(B'\)に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f': V \to V^*\)は\(b_j = {M^{-1}}^l_j b'_l\)を\(\sum_{l \in J} {M^{-1}}^l_j b'^l = \sum_{l \in J} {M^{-1}}^l_j {M^{-1}}^l_m b^m\)へマップする、それは一般に\(b^j\)に等しくない。実のところ、\(M\)がオーソゴーナル（対角）である時は、\(M^m_l = {M^{-1}}^l_m\)、そして、\(= \sum_{m \in J} {M^{-1}}^l_j M^m_l b^m = \sum_{m \in J} \delta^m_j b^m = b^j\)。
