1033: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）

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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V^{\ast }$: $=L(V:F)$
${V^{\ast }}^{\ast }$: $=L(L(V:F):F)$
$J$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$B$: $\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }V\}$, $=\{b_j|j\in J\}$
$B^{\ast }$: $=B\text{ のデュアルベーシス（基底） }$、$=\{b^j|j\in J\}$
${B^{\ast }}^{\ast }$: $=B^{\ast }\text{ のデュアルベーシス（基底） }$、$=\{{\tilde{b}}_j|j\in J\}$
$\ast f$: $:V\to {V^{\ast }}^{\ast },v^j{b}_j\mapsto \sum _{j\in J}{v}^j{\tilde{b}}_j$, $\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}$
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コンディションたち:
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$f$は$B$の選択に依存しない: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義（"元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関する"付き）と比較のこと。

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2: 注

$f$は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、$B$の選択に依存せず、各$v\in V$および各$w\in V^{\ast }$に対して$w(v)=f(v)(w)$であるというプロパティをを持っている、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題によって。

それは時々ずさんに"あるファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のダブルデュアルは元のベクトルたちスペース（空間）である。"のように表現されるが、ダブルデュアルは元のベクトルたちスペース（空間）と同一エンティティ（実体）ではない、当該2つのものは異なる意味たちを持っているので。それらは単に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）なだけであり、そういう関係を持っていることが2つのエンティティ（実体）たちを同じものにはしない。

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参考資料

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