ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V^*\): \(= L (V: F)\)
\( {V^*}^*\): \(= L (L (V: F): F)\)
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( B\): \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\( B^*\): \(= B \text{ のデュアルベーシス（基底） }\)、\(= \{b^j \vert j \in J\}\)
\( {B^*}^*\): \(= B^* \text{ のデュアルベーシス（基底） }\)、\(= \{\widetilde{b}_j \vert j \in J\}\)
\(*f\): \(: V \to {V^*}^*, v^j b_j \mapsto \sum_{j \in J} v^j \widetilde{b}_j\), \(\in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
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コンディションたち:
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\(f\)は\(B\)の選択に依存しない: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義（"元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関する"付き）と比較のこと。
2: 注
\(f\)は本当に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、\(B\)の選択に依存せず、各\(v \in V\)および各\(w \in V^*\)に対して\(w (v) = f (v) (w)\)であるというプロパティをを持っている、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題によって。
それは時々ずさんに"あるファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のダブルデュアルは元のベクトルたちスペース（空間）である。"のように表現されるが、ダブルデュアルは元のベクトルたちスペース（空間）と同一エンティティ（実体）ではない、当該2つのものは異なる意味たちを持っているので。それらは単に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）なだけであり、そういう関係を持っていることが2つのエンティティ（実体）たちを同じものにはしない。
