1039: テンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一であるベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って

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テンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一であるベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注1
• 3: 証明
• 4: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
• 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
• 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のテンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一である任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$\{V_1,...,V_k\}$: $\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$、ここで、$V_{m_1}=...=V_{m_l}:=V$、何らかの$\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}\subseteq \{V_1,...,V_k\}$に対して
$L(V_1,...,V_k:F)$: $=\text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }$
$\{B_1,...,B_k\}$: $B_j\in \{V_j\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}=\{b_{j,s}|1\le s\le dim{V}_j\}$、ここで、$B_{m_1}=...=B_{m_l}:=B^{\prime }$
$\{B_1^{\ast },...,B_k^{\ast }\}$: $B_j^{\ast }=B_j\text{ のデュアルベーシス（基底） }=\{b_j^s|1\le s\le dim{V}_j\}$
$B$: $=\{b_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}|b_l^{j_l}\in B_l^{\ast }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\forall }f=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}\in L(V_1,...,V_k:F)$
(
(
$f\in \{\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}\text{ に関してシンメトリック（対称）な全てのテンソルたち }\}$
$⟺$
$\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してシンメトリック（対称）である
)
$\wedge$
(
$f\in \{\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}\text{ に関してアンチシンメトリック（反対称）な全てのテンソルたち }\}$
$⟺$
$\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）である
)
)
//

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2: 注1

$L(V_1,...,V_k:F)$はより一般的な$L(V_1,...,V_k:W)$にできない、なぜなら、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題がそう要求する。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f$は$\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}$に関してシンメトリック（対称）であると仮定し、$f$を$(b_{1,s_1},...,b_{k,s_k})$および$(b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}})$に作用させ、ここで、$\sigma$は$(1,...,k)$の任意のパーミュテーション（並べ替え）で$(m_1,...,m_l)$のみを動かすもの、$f_{s_1,...,s_k}=f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}$であることを見る; ステップ2: $\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してシンメトリック（対称）であると仮定し、$f$を任意の$(v_1,...,v_k)$および$(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k})$に作用させ、当該結果たちが等しいことを見る; Step 3: $f$は$\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}$に関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定し、$f$を$(b_{1,s_1},...,b_{k,s_k})$および$(b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}})$に作用させ、ここで、$\sigma$は$(1,...,k)$の任意のパーミュテーション（並べ替え）で$(m_1,...,m_l)$のみを動かすもの、$f_{s_1,...,s_k}=sgn\sigma f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}$であることを見る; ステップ4: $\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定し、$f$を任意の$(v_1,...,v_k)$および$(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k})$に作用させ、当該結果たちが$sgn\sigma$因子によって異なることを見る。

ステップ1:

$f$は$\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}$に関してシンメトリック（対称）であると仮定しよう。

$\sigma$は$(1,...,k)$の任意のパーミュテーション（並べ替え）で$(m_1,...,m_l)$のみを動かすものとしよう。

$f$を$(b_{1,s_1},...,b_{k,s_k})$および$(b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}})$に作用させる。

$f((b_{1,s_1},...,b_{k,s_k}))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((b_{1,s_1},...,b_{k,s_k}))=f_{s_1,...,s_k}$。

$f((b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}}))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}}))=f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}$。

$f$はシンメトリック（対称）であるから、$f_{s_1,...,s_k}=f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}$、それは、$\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してシンメトリック（対称）であるということに他ならない。

ステップ2:

$\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してシンメトリック（対称）であると仮定しよう。

$\sigma$は$(1,...,k)$の任意のパーミュテーション（並べ替え）で$(m_1,...,m_l)$のみを動かすものとしよう。

$(v_1,...,v_k)\in V_1\times ...\times V_k$は任意のものとしよう。

各$j\in \{1,...,k\}$に対して、$v_j=v_j^s{b}_{j,s}$。

$f$を$(v_1,...,v_k)$および$(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k})$に作用させよう。

$f((v_1,...,v_k))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((v_1^{s_1}{b}_{1,s_1},...,v_k^{s_k}{b}_{k,s_k}))=f_{j_1,...,j_k}{v}_1^{s_1}{\delta }_{s_1}^{j_1}...v_k^{s_k}{\delta }_{s_k}^{j_k}=f_{s_1,...,s_k}{v}_1^{s_1}...v_k^{s_k}$。

$f((v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((v_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}{b}_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}{b}_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}}))=f_{j_1,...,j_k}{v}_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}{\delta }_{s_{{\sigma }_1}}^{j_1}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}{\delta }_{s_{{\sigma }_k}}^{j_k}=f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}{v}_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}$、しかし、$\{f_{j_1,...,j_k}\}$はシンメトリック（対称）であるから、$f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}=f_{s_1,...,s_k}$、したがって、$=f_{s_1,...,s_k}{v}_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}$、しかし、$v_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}=v_1^{s_1}...v_k^{s_k}$（それは単なる並べ替えである）であるから、$=f_{s_1,...,s_k}{v}_1^{s_1}...v_k^{s_k}$。

したがって、$f((v_1,...,v_k))=f((v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))$、それは、$f$はシンメトリック（対称）であるということに他ならない。

ステップ3:

$f$は$\{V_{m_1},...,V_{m_l}\}$に関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定しよう。

このロジックはステップ1と相似である、予期されるとおり。

$\sigma$は$(1,...,k)$の任意のパーミュテーション（並べ替え）で$(m_1,...,m_l)$のみを動かすものとしよう。

$f$を$(b_{1,s_1},...,b_{k,s_k})$および$(b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}})$に作用させる。

$f((b_{1,s_1},...,b_{k,s_k}))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((b_{1,s_1},...,b_{k,s_k}))=f_{s_1,...,s_k}$。

$f((b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}}))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((b_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,b_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}}))=f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}$。

$f$はアンチシンメトリック（反対称）であるから、$f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}=sgn\sigma f_{s_1,...,s_k}$、それは、$\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）であるということに他ならない。

ステップ4:

$\{f_{j_1,...,j_k}\}$は$m_1,...,m_l$インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定しよう。

以下のロジックはステップ2に相似である、予期されるとおり。

$\sigma$は$(1,...,k)$の任意のパーミュテーション（並べ替え）で$(m_1,...,m_l)$のみを動かすものとしよう。

$(v_1,...,v_k)\in V_1\times ...\times V_k$は任意のものとしよう。

各$j\in \{1,...,k\}$に対して、$v_j=v_j^s{b}_{j,s}$。

$f$を$(v_1,...,v_k)$および$(v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k})$に作用させよう。

$f((v_1,...,v_k))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((v_1^{s_1}{b}_{1,s_1},...,v_k^{s_k}{b}_{k,s_k}))=f_{j_1,...,j_k}{v}_1^{s_1}{\delta }_{s_1}^{j_1}...v_k^{s_k}{\delta }_{s_k}^{j_k}=f_{s_1,...,s_k}{v}_1^{s_1}...v_k^{s_k}$。

$f((v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=f_{j_1,...,j_k}{b}_1^{j_1}\otimes ...\otimes b_k^{j_k}((v_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}{b}_{{\sigma }_1,s_{{\sigma }_1}},...,v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}{b}_{{\sigma }_k,s_{{\sigma }_k}}))=f_{j_1,...,j_k}{v}_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}{\delta }_{s_{{\sigma }_1}}^{j_1}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}{\delta }_{s_{{\sigma }_k}}^{j_k}=f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}{v}_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}$、しかし、$\{f_{j_1,...,j_k}\}$はアンチシンメトリック（反対称）であるから、$f_{s_{{\sigma }_1},...,s_{{\sigma }_k}}=sgn\sigma f_{s_1,...,s_k}$、したがって、$=sgn\sigma f_{s_1,...,s_k}{v}_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}$、しかし、$v_{{\sigma }_1}^{s_{{\sigma }_1}}...v_{{\sigma }_k}^{s_{{\sigma }_k}}=v_1^{s_1}...v_k^{s_k}$（それは単なる並べ替えである）であるから、$=sgn\sigma f_{s_1,...,s_k}{v}_1^{s_1}...v_k^{s_k}$。

したがって、$f((v_{{\sigma }_1},...,v_{{\sigma }_k}))=sgn\sigma f((v_1,...,v_k))$、それは、$f$はアンチシンメトリック（反対称）であるということに他ならない。

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4: 注2

$B$はスタンダード（標準）ベーシス（基底）であるということが肝要である、なぜなら、そうでなければ、$f$のコンポーネントたちは$\{f_{j_1,...,j_k}\}$の形を取りもしないであろう: 任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題に対する"注"を参照。

$B_{m_1}=...=B_{m_l}$であることが肝要である、なぜなら、そうでなければ、$b_{m_j}^{s_{m_j}}(b_{m_n,s_{m_n}})$は${\delta }_{s_{m_n}}^{s_{m_j}}$に等しい、それが"証明"で使用されている、と主張できない。

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参考資料

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