テンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一であるベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のテンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一である任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)、ここで、\(V_{m_1} = ... = V_{m_l} := V\)、何らかの\(\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\} \subseteq \{V_1, ..., V_k\}\)に対して
\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{b_{j, s} \vert 1 \le s \le dim V_j\}\)、ここで、\(B_{m_1} = ... = B_{m_l} := B'\)
\(\{B^*_1, ..., B^*_k\}\): \(B^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{b^s_j \vert 1 \le s \le dim V_j\}\)
\(B\): \(= \{b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k \vert b^{j_l}_l \in B^*_l\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall f = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k \in L (V_1, ..., V_k: F)\)
(
(
\(f \in \{\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\} \text{ に関してシンメトリック（対称）な全てのテンソルたち }\}\)
\(\iff\)
\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してシンメトリック（対称）である
)
\(\land\)
(
\(f \in \{\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\} \text{ に関してアンチシンメトリック（反対称）な全てのテンソルたち }\}\)
\(\iff\)
\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）である
)
)
//
2: 注1
\(L (V_1, ..., V_k: F)\)はより一般的な\(L (V_1, ..., V_k: W)\)にできない、なぜなら、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題がそう要求する。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)は\(\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\}\)に関してシンメトリック（対称）であると仮定し、\(f\)を\((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})\)および\((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})\)に作用させ、ここで、\(\sigma\)は\((1, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）で\((m_1, ..., m_l)\)のみを動かすもの、\(f_{s_1, ..., s_k} = f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}}\)であることを見る; ステップ2: \(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してシンメトリック（対称）であると仮定し、\(f\)を任意の\((v_1, ..., v_k)\)および\((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})\)に作用させ、当該結果たちが等しいことを見る; Step 3: \(f\)は\(\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\}\)に関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定し、\(f\)を\((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})\)および\((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})\)に作用させ、ここで、\(\sigma\)は\((1, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）で\((m_1, ..., m_l)\)のみを動かすもの、\(f_{s_1, ..., s_k} = sgn \sigma f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}}\)であることを見る; ステップ4: \(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定し、\(f\)を任意の\((v_1, ..., v_k)\)および\((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})\)に作用させ、当該結果たちが\(sgn \sigma\)因子によって異なることを見る。
ステップ1:
\(f\)は\(\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\}\)に関してシンメトリック（対称）であると仮定しよう。
\(\sigma\)は\((1, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）で\((m_1, ..., m_l)\)のみを動かすものとしよう。
\(f\)を\((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})\)および\((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})\)に作用させる。
\(f ((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})) = f_{s_1, ..., s_k}\)。
\(f ((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})) = f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}}\)。
\(f\)はシンメトリック（対称）であるから、\(f_{s_1, ..., s_k} = f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}}\)、それは、\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してシンメトリック（対称）であるということに他ならない。
ステップ2:
\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してシンメトリック（対称）であると仮定しよう。
\(\sigma\)は\((1, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）で\((m_1, ..., m_l)\)のみを動かすものとしよう。
\((v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)は任意のものとしよう。
各\(j \in \{1, ..., k\}\)に対して、\(v_j = v^s_j b_{j, s}\)。
\(f\)を\((v_1, ..., v_k)\)および\((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})\)に作用させよう。
\(f ((v_1, ..., v_k)) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((v^{s_1}_1 b_{1, s_1}, ..., v^{s_k}_k b_{k, s_k})) = f_{j_1, ..., j_k} v^{s_1}_1 \delta^{j_1}_{s_1} ... v^{s_k}_k \delta^{j_k}_{s_k} = f_{s_1, ..., s_k} v^{s_1}_1 ... v^{s_k}_k\)。
\(f ((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k} b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})) = f_{j_1, ..., j_k} v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} \delta^{j_1}_{s_{\sigma_1}} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k} \delta^{j_k}_{s_{\sigma_k}} = f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}} v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k}\)、しかし、\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)はシンメトリック（対称）であるから、\(f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}} = f_{s_1, ..., s_k}\)、したがって、\(= f_{s_1, ..., s_k} v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k}\)、しかし、\(v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k} = v^{s_1}_{1} ... v^{s_k}_{k}\)（それは単なる並べ替えである）であるから、\(= f_{s_1, ..., s_k} v^{s_1}_{1} ... v^{s_k}_{k}\)。
したがって、\(f ((v_1, ..., v_k)) = f ((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}))\)、それは、\(f\)はシンメトリック（対称）であるということに他ならない。
ステップ3:
\(f\)は\(\{V_{m_1}, ..., V_{m_l}\}\)に関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定しよう。
このロジックはステップ1と相似である、予期されるとおり。
\(\sigma\)は\((1, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）で\((m_1, ..., m_l)\)のみを動かすものとしよう。
\(f\)を\((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})\)および\((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})\)に作用させる。
\(f ((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((b_{1, s_1}, ..., b_{k, s_k})) = f_{s_1, ..., s_k}\)。
\(f ((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})) = f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}}\)。
\(f\)はアンチシンメトリック（反対称）であるから、\(f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}} = sgn \sigma f_{s_1, ..., s_k}\)、それは、\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）であるということに他ならない。
ステップ4:
\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)は\(m_1, ..., m_l\)インデックスたちに関してアンチシンメトリック（反対称）であると仮定しよう。
以下のロジックはステップ2に相似である、予期されるとおり。
\(\sigma\)は\((1, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）で\((m_1, ..., m_l)\)のみを動かすものとしよう。
\((v_1, ..., v_k) \in V_1 \times ... \times V_k\)は任意のものとしよう。
各\(j \in \{1, ..., k\}\)に対して、\(v_j = v^s_j b_{j, s}\)。
\(f\)を\((v_1, ..., v_k)\)および\((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})\)に作用させよう。
\(f ((v_1, ..., v_k)) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((v^{s_1}_1 b_{1, s_1}, ..., v^{s_k}_k b_{k, s_k})) = f_{j_1, ..., j_k} v^{s_1}_1 \delta^{j_1}_{s_1} ... v^{s_k}_k \delta^{j_k}_{s_k} = f_{s_1, ..., s_k} v^{s_1}_1 ... v^{s_k}_k\)。
\(f ((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})) = f_{j_1, ..., j_k} b^{j_1}_1 \otimes ... \otimes b^{j_k}_k ((v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} b_{\sigma_1, s_{\sigma_1}}, ..., v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k} b_{\sigma_k, s_{\sigma_k}})) = f_{j_1, ..., j_k} v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} \delta^{j_1}_{s_{\sigma_1}} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k} \delta^{j_k}_{s_{\sigma_k}} = f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}} v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k}\)、しかし、\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)はアンチシンメトリック（反対称）であるから、\(f_{s_{\sigma_1}, ..., s_{\sigma_k}} = sgn \sigma f_{s_1, ..., s_k}\)、したがって、\(= sgn \sigma f_{s_1, ..., s_k} v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k}\)、しかし、\(v^{s_{\sigma_1}}_{\sigma_1} ... v^{s_{\sigma_k}}_{\sigma_k} = v^{s_1}_{1} ... v^{s_k}_{k}\)（それは単なる並べ替えである）であるから、\(= sgn \sigma f_{s_1, ..., s_k} v^{s_1}_{1} ... v^{s_k}_{k}\)。
したがって、\(f ((v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})) = sgn \sigma f ((v_1, ..., v_k))\)、それは、\(f\)はアンチシンメトリック（反対称）であるということに他ならない。
4: 注2
\(B\)はスタンダード（標準）ベーシス（基底）であるということが肝要である、なぜなら、そうでなければ、\(f\)のコンポーネントたちは\(\{f_{j_1, ..., j_k}\}\)の形を取りもしないであろう: 任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちに対して、当該フィールド（体）、当該ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）たちの任意のベーシス（基底）たちのデュアルベーシス（基底）たちの全ての要素たちの全てのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つという命題に対する"注"を参照。
\(B_{m_1} = ... = B_{m_l}\)であることが肝要である、なぜなら、そうでなければ、\(b^{s_{m_j}}_{m_j} (b_{m_n, s_{m_n}})\)は\(\delta^{s_{m_j}}_{s_{m_n}}\)に等しい、それが"証明"で使用されている、と主張できない。
