1037: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける(p,q)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意の$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける$(p,q)$-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$m$: $\in M$
$p$: $\in \mathbb{N}$
$q$: $\in \mathbb{N}$
$T_q^p(T_{m}M)$: $=m\text{ における当該 }(p,q)\text{ -テンソルたちスペース（空間） }$
$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ の周りの全てのチャートたち }\}$
$(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$: $\in \{M\text{ に対する }m\text{ の周りの全てのチャートたち }\}$
$B$: $=T_q^p(T_{m}M)\text{ に対する }$$(U_m\subseteq M,{\varphi }_m)$に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、$=\{[((\partial /\partial x^{j_1},...,\partial /\partial x^{j_p},d{x}^{l_1},...,d{x}^{l_q}))]\}$
$B^{\prime }$: $=T_q^p(T_{m}M)\text{ に対する }$$(U_m^{\prime }\subseteq M,{\varphi }_m^{\prime })$に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、$=\{[((\partial /\partial x^{\prime j_1},...,\partial /\partial x^{\prime j_p},d{x}^{\prime l_1},...,d{x}^{\prime l_q}))]\}$
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ステートメント（言明）たち:
$[((\partial /\partial x^{\prime j_1},...,\partial /\partial x^{\prime j_p},d{x}^{\prime l_1},...,d{x}^{\prime l_q}))]=\partial x^{m_1}/\partial x^{\prime j_1}...\partial x^{m_p}/\partial x^{\prime j_p}\partial x^{\prime l_1}/\partial x^{n_1}...\partial x^{\prime l_q}/\partial x^{n_q}[((\partial /\partial x^{m_1},...,\partial /\partial x^{m_p},d{x}^{n_1},...,d{x}^{n_q}))]$
//

$x^{\prime }$のファンクション（関数）としての$x$は、${\varphi }_m\circ {{\varphi }_m^{\prime }}^{-1}{|}_{{\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })}:{\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })\to {\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })$; $x$のファンクション（関数）としての$x^{\prime }$は、${\varphi }_m^{\prime }\circ {{\varphi }_m}^{-1}{|}_{{\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })}:{\varphi }_m(U_m\cap U_m^{\prime })\to {\varphi }_m^{\prime }(U_m\cap U_m^{\prime })$。

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のフィールド（体）上方の任意の$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。

ステップ1:

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、$\partial /\partial x^{\prime j}=\partial x^m/\partial x^{\prime j}\partial /\partial x^m$。

任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、$d{x}^{\prime l}=\partial x^{\prime l}/\partial x^{n}d{x}^n$。

任意のフィールド（体）上方の任意の$k$個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、$[((\partial /\partial x^{\prime j_1},...,\partial /\partial x^{\prime j_p},d{x}^{\prime l_1},...,d{x}^{\prime l_q}))]=\partial x^{m_1}/\partial x^{\prime j_1}...\partial x^{m_p}/\partial x^{\prime j_p}\partial x^{\prime l_1}/\partial x^{n_1}...\partial x^{\prime l_q}/\partial x^{n_q}[((\partial /\partial x^{m_1},...,\partial /\partial x^{m_p},d{x}^{n_1},...,d{x}^{n_q}))]$。

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参考資料

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