\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(p\): \(\in \mathbb{N}\)
\(q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(T^p_q (T_mM)\): \(= m \text{ における当該 } (p, q) \text{ -テンソルたちスペース（空間） }\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\(B\): \(= T^p_q (T_mM) \text{ に対する }\)\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、\(= \{[((\partial / \partial x^{j_1}, ..., \partial / \partial x^{j_p}, d x^{l_1}, ..., d x^{l_q}))]\}\)
\(B'\): \(= T^p_q (T_mM) \text{ に対する }\)\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)に関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）、\(= \{[((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))]\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\([((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))] = \partial x^{m_1} / \partial x'^{j_1} ... \partial x^{m_p} / \partial x'^{j_p} \partial x'^{l_1} / \partial x^{n_1} ... \partial x'^{l_q} / \partial x^{n_q} [((\partial / \partial x^{m_1}, ..., \partial / \partial x^{m_p}, d x^{n_1}, ..., d x^{n_q}))]\)
//
\(x'\)のファンクション（関数）としての\(x\)は、\(\phi_m \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m \cap U'_m)}: \phi'_m (U_m \cap U'_m) \to \phi_m (U_m \cap U'_m)\); \(x\)のファンクション（関数）としての\(x'\)は、\(\phi'_m \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U'_m)}: \phi_m (U_m \cap U'_m) \to \phi'_m (U_m \cap U'_m)\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のフィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用する。
ステップ1:
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、および任意のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\(\partial / \partial x'^j = \partial x^m / \partial x'^j \partial / \partial x^m\)。
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）に対する任意のベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\(d x'^l = \partial x'^l / \partial x^n d x^n\)。
任意のフィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって、\([((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))] = \partial x^{m_1} / \partial x'^{j_1} ... \partial x^{m_p} / \partial x'^{j_p} \partial x'^{l_1} / \partial x^{n_1} ... \partial x'^{l_q} / \partial x^{n_q} [((\partial / \partial x^{m_1}, ..., \partial / \partial x^{m_p}, d x^{n_1}, ..., d x^{n_q}))]\)。
