2025年3月20日木曜日

1037: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース(空間)に対して、チャートたちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれである

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\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース(空間)に対して、チャートたちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであることの記述/証明

話題


About: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、および任意のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース(空間)に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル(次元) } C^\infty \text{ マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(p\): \(\in \mathbb{N}\)
\(q\): \(\in \mathbb{N}\)
\(T^p_q (T_mM)\): \(= m \text{ における当該 } (p, q) \text{ -テンソルたちスペース(空間) }\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\): \(\in \{M \text{ に対する } m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\(B\): \(= T^p_q (T_mM) \text{ に対する }\)\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)に関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)、\(= \{[((\partial / \partial x^{j_1}, ..., \partial / \partial x^{j_p}, d x^{l_1}, ..., d x^{l_q}))]\}\)
\(B'\): \(= T^p_q (T_mM) \text{ に対する }\)\((U'_m \subseteq M, \phi'_m)\)に関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)、\(= \{[((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))]\}\)
//

ステートメント(言明)たち:
\([((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))] = \partial x^{m_1} / \partial x'^{j_1} ... \partial x^{m_p} / \partial x'^{j_p} \partial x'^{l_1} / \partial x^{n_1} ... \partial x'^{l_q} / \partial x^{n_q} [((\partial / \partial x^{m_1}, ..., \partial / \partial x^{m_p}, d x^{n_1}, ..., d x^{n_q}))]\)
//

\(x'\)のファンクション(関数)としての\(x\)は、\(\phi_m \circ {\phi'_m}^{-1} \vert_{\phi'_m (U_m \cap U'_m)}: \phi'_m (U_m \cap U'_m) \to \phi_m (U_m \cap U'_m)\); \(x\)のファンクション(関数)としての\(x'\)は、\(\phi'_m \circ {\phi_m}^{-1} \vert_{\phi_m (U_m \cap U'_m)}: \phi_m (U_m \cap U'_m) \to \phi'_m (U_m \cap U'_m)\)。


2: 証明


全体戦略: ステップ1: 任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、および任意のポイントにおけるタンジェント(接)ベクトルたちスペース(空間)に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、当該ベクトルたちスペース(空間)に対する任意のベーシス(基底)たちに関する、コベクトルたちスペース(空間)に対するデュアルベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題任意のフィールド(体)上方の任意の\(k\)個のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)たちのテンソルプロダクト(積)に対して、当該ベクトルたちスペース(空間)たちに対する任意のベーシス(基底)たちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題を適用する。

ステップ1:

任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、および任意のポイントにおけるタンジェント(接)ベクトルたちスペース(空間)に対して、任意のチャートたちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題によって、\(\partial / \partial x'^j = \partial x^m / \partial x'^j \partial / \partial x^m\)。

任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、当該ベクトルたちスペース(空間)に対する任意のベーシス(基底)たちに関する、コベクトルたちスペース(空間)に対するデュアルベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題によって、\(d x'^l = \partial x'^l / \partial x^n d x^n\)。

任意のフィールド(体)上方の任意の\(k\)個のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)たちのテンソルプロダクト(積)に対して、当該ベクトルたちスペース(空間)たちに対する任意のベーシス(基底)たちに関するスタンダード(標準)ベーシス(基底)たちのトランジション(遷移)はこれであるという命題によって、\([((\partial / \partial x'^{j_1}, ..., \partial / \partial x'^{j_p}, d x'^{l_1}, ..., d x'^{l_q}))] = \partial x^{m_1} / \partial x'^{j_1} ... \partial x^{m_p} / \partial x'^{j_p} \partial x'^{l_1} / \partial x^{n_1} ... \partial x'^{l_q} / \partial x^{n_q} [((\partial / \partial x^{m_1}, ..., \partial / \partial x^{m_p}, d x^{n_1}, ..., d x^{n_q}))]\)。


参考資料


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