コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(D\): \(\in \{\text{ ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(N\): \(: D \to T_1\), \(\in \{D \text{ による全てのネットたち }\}\)
\(t\): \(\in T_1\), \(\in \{N \text{ の全てのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)
\(f (t)\): \(\in T_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (t) \in \{f \circ N \text{ の全てのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}\)
\(\land\)
(
\(T_2 \in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(lim f \circ N = f (t)\)
)
//
2: 注
"ネットのコンバージェンス（収束ポイント）"が意味をなすのは、当該ネットのユニークなコンバージェンス（収束ポイント）がある時だけである。
したがって、'当該ネットはあるポイントにコンバージ（収束）する'は'当該ネットのコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントである'とは異なる: 後者が意味するのは、当該ネットのユニークなコンバージェンス（収束ポイント）があるということである。
本命題の前半が言っているのは、\(f \circ N\)は\(f (t)\)へコンバージ（収束）するということ; 本命題の後半が言っているのは、\(f \circ N\)はユニークなコンバージェンス（収束ポイント）を持ち、当該コンバージェンス（収束ポイント）は\(f (t)\)であること。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f \circ N\)は\(D\)によるネットであることを見る; ステップ2: \(f (t)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{f (t)}\)を取る; ステップ3: \(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq N_{f (t)}\)、を取る; ステップ4: 以下を満たすある\(j_0 \in D\)、つまり、\(j_0 \le j\)である各\(j \in D\)に対して、\(N (j) \in U_t\)、を取る; ステップ5: \(f \circ N (j) \in N_{f (t)}\)であることを見る; ステップ6: \(T_2\)はハウスドルフであると仮定し、\(f \circ N\)のコンバージェンス（収束ポイント）はユニークであり\(f (t)\)であることを見る。
ステップ1:
\(f \circ N\)は\(: D \to T_1 \to T_2\)であり、したがって、\(D\)によるネットである。
ステップ2:
\(f (t)\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{f (t)} \subseteq T_2\)を取ろう。
ステップ3:
\(f\)はコンティニュアス（連続）であるので、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T_1\)、つまり、\(f (U_t) \subseteq N_{f (t)}\)、がある。
ステップ4:
\(N\)は\(t\)へコンバージ（収束）するので、以下を満たすある\(j_0 \in D\)、つまり、\(j_0 \le j\)である各\(j \in D\)に対して、\(N (j) \in U_t\)、がある。
ステップ5:
\(j_0 \le j\)を満たす各\(j \in D\)に対して、\(f \circ N (j) \in f (U_t) \subseteq N_{f (t)}\)、それが意味するのは、\(f \circ N\)は\(f (t)\)へコンバージ（収束）するということ。
しかし、それは必ずしも、\(f (t)\)がユニークなコンバージェンス（収束ポイント）であることを意味しない。したがって、"\(f \circ N\)のコンバージェンス（収束ポイント）"について話すことの正当性は保証されていない。
ステップ6:
\(T_2\)はハウスドルフであると仮定しよう。
任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題によって、最大1個のコンバージェンス（収束ポイント）がある、しかし、本当にあるコンバージェンス（収束ポイント）\(f (t)\)がある、したがって、\(f (t)\)は\(f \circ N\)のユニークなコンバージェンス（収束ポイント）である。
したがって、\(lim f \circ N = f (t)\)と記すことの正当性が保証される。
