1060: コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）である

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コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$f$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
$D$: $\in \{\text{ ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）たち }\}$
$N$: $:D\to T_1$, $\in \{D\text{ による全てのネットたち }\}$
$t$: $\in T_1$, $\in \{N\text{ の全てのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}$
$f(t)$: $\in T_2$
//

ステートメント（言明）たち:
$f(t)\in \{f\circ N\text{ の全てのコンバージェンス（収束ポイント）たち }\}$
$\wedge$
(
$T_2\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$⟹$
$limf\circ N=f(t)$
)
//

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2: 注

"ネットのコンバージェンス（収束ポイント）"が意味をなすのは、当該ネットのユニークなコンバージェンス（収束ポイント）がある時だけである。

したがって、'当該ネットはあるポイントにコンバージ（収束）する'は'当該ネットのコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントである'とは異なる: 後者が意味するのは、当該ネットのユニークなコンバージェンス（収束ポイント）があるということである。

本命題の前半が言っているのは、$f\circ N$は$f(t)$へコンバージ（収束）するということ; 本命題の後半が言っているのは、$f\circ N$はユニークなコンバージェンス（収束ポイント）を持ち、当該コンバージェンス（収束ポイント）は$f(t)$であること。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $f\circ N$は$D$によるネットであることを見る; ステップ2: $f(t)$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{f(t)}$を取る; ステップ3: $t$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t$、つまり、$f(U_t)\subseteq N_{f(t)}$、を取る; ステップ4: 以下を満たすある$j_0\in D$、つまり、$j_0\le j$である各$j\in D$に対して、$N(j)\in U_t$、を取る; ステップ5: $f\circ N(j)\in N_{f(t)}$であることを見る; ステップ6: $T_2$はハウスドルフであると仮定し、$f\circ N$のコンバージェンス（収束ポイント）はユニークであり$f(t)$であることを見る。

ステップ1:

$f\circ N$は$:D\to T_1\to T_2$であり、したがって、$D$によるネットである。

ステップ2:

$f(t)$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_{f(t)}\subseteq T_2$を取ろう。

ステップ3:

$f$はコンティニュアス（連続）であるので、$t$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_t\subseteq T_1$、つまり、$f(U_t)\subseteq N_{f(t)}$、がある。

ステップ4:

$N$は$t$へコンバージ（収束）するので、以下を満たすある$j_0\in D$、つまり、$j_0\le j$である各$j\in D$に対して、$N(j)\in U_t$、がある。

ステップ5:

$j_0\le j$を満たす各$j\in D$に対して、$f\circ N(j)\in f(U_t)\subseteq N_{f(t)}$、それが意味するのは、$f\circ N$は$f(t)$へコンバージ（収束）するということ。

しかし、それは必ずしも、$f(t)$がユニークなコンバージェンス（収束ポイント）であることを意味しない。したがって、"$f\circ N$のコンバージェンス（収束ポイント）"について話すことの正当性は保証されていない。

ステップ6:

$T_2$はハウスドルフであると仮定しよう。

任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは、最大でも唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得るという命題によって、最大1個のコンバージェンス（収束ポイント）がある、しかし、本当にあるコンバージェンス（収束ポイント）$f(t)$がある、したがって、$f(t)$は$f\circ N$のユニークなコンバージェンス（収束ポイント）である。

したがって、$limf\circ N=f(t)$と記すことの正当性が保証される。

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参考資料

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