フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、テンソルの、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよび当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、任意のテンソルの、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全ての定義フィールド（体）たち }\}\)
\(\{V_1, ..., V_k\}\): \(\subseteq \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(L (V_1, ..., V_k: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\(\{B_1, ..., B_k\}\): \(B_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'_1, ..., B'_k\}\): \(B'_j \in \{V_j \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_j}_l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B^*_1, ..., B^*_k\}\): \(B^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(\{B'^*_1, ..., B'^*_k\}\): \(B'^*_j = B_j \text{ のデュアルベーシス（基底） } = \{{b_j}^l \vert 1 \le l \le dim V_j\}\)
\(B^*\): \(= \{{b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} \vert {b_l}^{j_l} \in B^*_l\}\), \(\in \{L (V_1, ..., V_k: F) \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B'^*\): \(= \{{b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} \vert {b'_l}^{j_l} \in B'^*_l\}\), \(\in \{L (V_1, ..., V_k: F) \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({b'_j}_l = {b_j}_m {M_j}^m_l\)
\(\implies\)
\(\forall f = f_{j_1, ..., j_k} {b_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{j_k} = f'_{l_1, ..., l_k} {b'_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_l} \in L (V_1, ..., V_k: F) (f'_{l_1, ..., l_k} = f_{j_1, ..., j_k} {M_1}^{j_1}_{l_1} ... {M_k}^{j_k}_{l_k})\)
//
2: 証明
全体戦略: 単に、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題, 任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題、任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題を得る適用する; ステップ1: \({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\({b'_1}^{j_1} \otimes ... \otimes {b'_k}^{j_k} = {{M_1}^{-1}}^{j_1}_{l_1} ... {{M_k}^{-1}}^{j_k}_{l_k} {b_1}^{l_1} \otimes ... \otimes {b_k}^{l_k}\)、任意のフィールド（体）、当該フィールド（体）上方の\(k\)個の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）たちに対する任意のベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
ステップ2:
任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を適用しよう。
任意のフィールド（体）、任意のファイナイト（有限）数ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）当該フィールド（体）ベクトルたちスペース（空間）たち、当該フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）または任意のフィールド（体）上方の任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、任意のスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、当該インバース（逆）マトリックス（行列）は当該インバース（逆）たちのプロダクト（積）であるという命題によって、\(f'_{l_1, ..., l_k} = f_{j_1, ..., j_k} {M_1}^{j_1}_{l_1} ... {M_k}^{j_k}_{l_k}\)。
