1062: C∞カバリングマップ（写像）

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$C^{\mathrm{\infty }}$カバリングマップ（写像）の定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述

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開始コンテキスト

• 読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付きの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の$C^k$マップ（写像）、ここで、$k$は$\mathrm{\infty }$を含むの定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$カバリングマップ（写像）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M_1$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$M_2$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$\ast \pi$: $:M_1\to M_2$, $\in \{\text{ 全てのサージェクション（全射）たち }\}\cap \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{マ}\mathrm{ッ}\mathrm{プ}（\mathrm{写}\mathrm{像}）\mathrm{た}\mathrm{ち}\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }m\in M_2(\mathrm{\exists }{U}_m\subseteq M_2\in \{m\text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}\text{ で、以下を満たすもの、つまり、 }{U}_m\text{ は }\pi \text{ によって }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ イーブンにカバーされている })$、ここで、"$\pi$によって$C^{\mathrm{\infty }}$イーブンにカバーされている"が意味するのは、${\pi }^{-1}(U_m)$の各コネクテッド（連結された）コンポーネント${\pi }^{-1}(U_m{)}_j$、ここで、$j\in J$、ここで、$J$はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）である、に対して、$\pi {|}_{{\pi }^{-1}(U_m{)}_j}:{\pi }^{-1}(U_m{)}_j\to U_m$はディフェオモーフィズムであるということ
//

$M_2$は"カバリングのベース"と呼ばれる。

$M_1$は"$M_2$のカバリングスペース（空間）"と呼ばれる。

各${\pi }^{-1}(U_m{)}_j$は"$U_m$上方のカバリングのシート"と呼ばれる。

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参考資料

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