ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のオリエンテーションの定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、クオシエント（商）セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のオリエンテーションの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( S\): \(= \{V \text{ に対する全てのオーダード（順序付き）ベーシス（基底）たち }\}\)
\( \sim\): \(\in \{S \text{ に対する全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)、\(\forall B_1 = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d), B_2 = ({b_2}_1, ..., {b_2}_d) \in S (B_1 \sim B_2 \iff \text{ 以下の } M \text{ 、つまり、 } ({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M \text{ 、に対して、 } 0 \lt det M)\)
\( S / sim\): \(= \text{ 当該クオシエント（商）セット（集合） }\)
\(*o\): \(\in S / sim\)
//
コンディションたち:
//
上記\(d\)はポジティブ（正）であると仮定されている。
\(d = 0\)である時、任意のオリエンテーションは\(1\)または\(-1\)と定義される。
2: 注
\(\sim\)は本当にイクイバレンスリレーション（同値関係）であることを見よう。
第1に、各\((B_1, B_2)\)ペアに対して、\(M\)はユニークに決定される: \({b_2}_j = {b_1}_l M^l_j\)、それは、ユニークに\((M^1_j, ..., M^d_j)\)を決定する、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
\(det M\)は\(0\)ではない、なぜなら、そうでなければ、\(B_2\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）ではないことになる。したがって、\(0 \lt det M\)または\(det M \lt 0\)。
\(B_1 \sim B_1\)、なぜなら、\(M = I\)および\(0 \lt det I\)。
\(B_1 \sim B_2\)である時、\(B_2 \sim B_1\)、なぜなら、\(({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M\)から、\(({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t = ({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t M^{-1}\)、しかし、\(det M^{-1} = 1 / det M\)、それはポジティブ（正）である。
\(B_1 \sim B_2\)および\(B_2 \sim B_3\)である時、\(B_1 \sim B_3\)、なぜなら、\(({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M_1\)および\(({b_3}_1, ..., {b_3}_d)^t = ({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t M_2\)から、\(({b_3}_1, ..., {b_3}_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M_1 M_2\)、しかし、\(det (M_1 M_2) = det M_1 det M_2\)、それはポジティブ（生）である。
したがって、\(S / sim\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
Let us see that \(S / sim\) consists of \(2\) elements. \(S / sim\)は\(2\)要素たちからなることを見よう。
任意の\(B_1 \in S\)および\([B_1] \in S / sim\)を取ろう。
\(\{[B_1]\} \neq S / sim\)、なぜなら、以下を満たすあるマトリックス（行列）\(M\)、つまり、\(det M \lt 0\)、を取れる、すると、\(B_2 := ({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M\)はオーダード（順序付き）ベーシス（基底）である、しかし、\(det M \lt 0\)であるから、\(B_2 \notin [B_1]\)。
したがって、以下を満たす\([B_2] \in S / sim\)、つまり、\([B_1] \neq [B_2]\)、がある。
すると、各\(B' = (b'_1, ..., b'_d) \in S\)に対して、\((b'_1, ..., b'_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M'\)、しかし、もしも、\(0 \lt det M'\)である場合、\(B' \in [B_1]\); もしも、\(det M' \lt 0\)である場合、\((b'_1, ..., b'_d)^t = ({b_1}_1, ..., {b_1}_d)^t M' = ({b_2}_1, ..., {b_2}_d)^t M^{-1} M'\)、しかし、\(det (M^{-1} M') = det (M^{-1}) det M'\)、それはポジティブ（生）である、したがって、\(B' \in [B_2]\)。
したがって、\(S / sim = \{[B_1], [B_2]\}\)。
オリエンテーションと、\(\mathbb{R}^2\)に対するいわゆる"右ねじ"または"反時計回り"の関係を見よう。
各オリエンテーション\([(b_1, b_2)]\)に対して、\(b_1\)を\(b_2\)へ向けて距離が短い方向で回転させる、すると、右ねじが進む方向が右ねじ方向である: 当該オリエンテーションが当該右ねじ方向を決定する。
例えば、\(\mathbb{R}^2\)の通常の絵に対して、\([(\hat{x}, \hat{y})]\)は上向き右ねじ方向を決定するが、\([(\hat{y}, \hat{x})]\)は下向き右ねじ方向を決定する。
他方で、右ねじ方向の任意の選択はオリエンテーションを決定する。
例えば、\(\mathbb{R}^2\)の通常の絵に対して、上向き右ねじ方向は\([(\hat{x}, \hat{y})]\)を決定する。
"反時計回り"について話し始めるためには、ある右ねじ方向を既に選んである必要がある: 任意の回転は、ある面の上を見れば反時計回りであり、別の面の上を見れば時計回りである。
当該回転が、当該右ねじがそこから上がってくる面の上を見ることによって反時計回りである時、当該回転は"反時計回り"と呼ばれる。
任意のオリエンテーションは右ねじ方向を決定するので、当該オリエンテーションは反時計回り回転方向を決定する。
\(\mathbb{R}^2\)の通常の絵に対して、通常、\([(\hat{x}, \hat{y})]\)が暗黙にオリエンテーションとして選ばれているので、"反時計回り"が決定されている。
他方、反時計回り回転方向の任意の選択はオリエンテーションを決定する。
