\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおけるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、ローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、%カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおける任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、任意のローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)のカノニカル（正典）な\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(k\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\{V_m \in \{\text{ 全ての } k \text{ -ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\} \vert m \in M\}\):
\(E\): \(= \biguplus \{V_m\}\)、ここで、\(\biguplus\)はディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）を表わす
\(\pi\): \(: E \to M, v \in V_m \mapsto m\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_j \in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合） }\} \vert j \in J\}\): で、以下を満たすもの、つまり、\(\cup \{U_j\} = M\)
\(\{\Phi_j: \pi^{-1} (U_j) \to U_j \times \mathbb{R}^k \vert j \in J\}\)で、以下を満たすもの、つまり、各\(m \in U_j\)に対して、\(\Phi_j \vert_{V_m}: V_m \to \{m\} \times \mathbb{R}^k \in \{\text{ 全ての'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{(U_m \subseteq M, \phi_m) \in \{M \text{ に対する全てのチャートたち }\} \vert \exists j \in J (m \in U_m \subseteq U_j)\} \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）セット（集合）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\cup \{U_m\} = M\)
\(\land\)
(
(
\(\forall j, l \in J \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } U_j \cap U_l \neq \emptyset (\exists T_{j, l}: U_j \cap U_l \to GL (\mathbb{R}^k) \in \{\text{ the } C^\infty maps \})\)
\(\land\)
\(\Phi_l \circ {\Phi_j}^{-1} \vert_{(U_j \cap U_l) \times \mathbb{R}^k}: (U_j \cap U_l) \times \mathbb{R}^k \to (U_j \cap U_l) \times \mathbb{R}^k, (m, v) \mapsto (m, T_{j, l} (m) v)\)
)
\(\implies\)
(
\(\{(\pi^{-1} (U_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m}) \vert U_m \in \{U_m\}, \widetilde{\phi_m}: \pi^{-1} (U_m) \to \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m) = \lambda \circ (\phi_m, id) \circ \Phi_j \vert_{\pi^{-1} (U_m)}\}\)、ここで、\(\lambda: \mathbb{R}^{d + k} \to \mathbb{R}^{d + k}, (x^1, ..., x^d, x^{d + 1}, ..., x^{d + k}) \mapsto (x^{d + 1}, ..., x^{d + k}, x^1, ..., x^d)\)、は任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題に対するアトラス候補で、\(E\)をカノニカル（正典）な\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、（それは、\(\{U_m\}\)の選択には依存しない）、にするものである
\(\land\)
\((E, M, \pi) \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
)
)
//
2: 注
\(\lambda\)が使われているのは、\(M\)が非空バウンダリー（境界）付きである時に\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m))\)が\(\mathbb{H}^{d + k}\)のサブセット（部分集合）であるようにするためである: 通常は、\(\lambda\)はずさんに省略されるが、\(\lambda\)なしの\((\phi_m, id) \circ \Phi_j\)は\(\mathbb{H}^{d + k}\)の中へのマップ（写像）ではないことになる、なぜなら、それは\(0 \le x^d\)で\(- \infty \lt x^{d + k} \lt \infty\)にすることになる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\{(\pi^{-1} (U_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m})\}\)は任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題に対するアトラス候補であることを見る; ステップ2: \((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であることを見る; ステップ3: \(E\)のトポロジーおよびアトラスは\(\{(U_m \subseteq M, \phi_m)\}\)の選択に依存しないことを見る。
ステップ1:
\(\{(U_m \subseteq M, \phi_m)\}\)をカウンタブル（可算）セット（集合）に取れる、なぜなら、\(M\)はセカンドカウンタブル（可算）である: 各\(U_m\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）から選ぶことができる: \(M\)のあるチャートたちカバー（被覆）があるところ、各\(m \in M\)に対して、\(m\)はあるチャートドメイン（定義域）とある\(U_j\)のインターセクション（共通集合）の中に包含されており、当該ベーシス（基底）のある要素\(m\)を包含し当該チャートドメイン（定義域）と\(U_j\)のインターセクション（共通集合）の中に包含されているように取れ、\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)は当該チャートのリストリクション（制限）であるように取れる（各\(U_m\)に対して固定したあるチャートを使う）。注意として、ある\(m, m' \in M\)たちで\(m \neq m'\)を満たすものに対して、\(U_m = U_{m'}\)が起こり得る、それが、\(M\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないのに\(\{U_m\}\)がカウンタブル（可算）である理由である。注意として、\(J\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないが、全ての\(U_j\)たちが使われる必要はない。
\(\{(\pi^{-1} (U_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m})\}\)は任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題に対するアトラス候補であることを見よう。
\(\Phi_j: \pi^{-1} (U_j) \to U_j \times \mathbb{R}^k\)はバイジェクション（全単射）である: 以下を満たす各\(e, e' \in \pi^{-1} (U_j)\)、つまり、\(e \in V_p\)および\(e' \in V_{p'}\)、ここで、\(p \neq p'\)、に対して、\(\Phi_j (e) \neq \Phi_j (e')\)、なぜなら、\(\Phi_j (e) \in \{p\} \times \mathbb{R}^k\)および\(\Phi_j (e') \in \{p'\} \times \mathbb{R}^k\); 以下を満たす各\(e, e' \in \pi^{-1} (U_j)\)、つまり、\(e, e' \in V_p\) but \(e \neq e'\)、に対して、\(\Phi_j (e) \neq \Phi_j (e')\)、なぜなら、\(\Phi_j \vert_{V_p}\)はバイジェクティブ（全単射）である; \(U_j \times \mathbb{R}^k\)上の各ポイントは\(\Phi_j\)によってマップ先となる、なぜなら、\(\{p\} \times \mathbb{R}^k\)上の各ポイントは\(\Phi_j \vert_{V_p}\)によってマップ先となる、なぜなら、\(\Phi_j \vert_{V_p}\)はバイジェクティブ（全単射）である。
\(\widetilde{\phi_m} =\lambda \circ (\phi_m, id) \circ \Phi_j \vert_{\pi^{-1} (U_m)}\)はインジェクション（単射）である、なぜなら、\(\Phi_j\)、\((id, \phi_m)\)、\(\lambda\)たちはインジェクション（単射）たちである。
\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m)) = \lambda \circ (\phi_m, id) \circ \Phi_j (\pi^{-1} (U_m)) = \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m)\)、それは\(\mathbb{R}^{d + k}\)または\(\mathbb{H}^{d + k}\)上でオープン（開）である。
\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U_{m'})) = \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m \cap U_{m'})\)は\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m)) = \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m)\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(\Phi_l \circ {\Phi_j}^{-1} \vert_{(U_j \cap U_l) \times \mathbb{R}^k}: (U_j \cap U_l) \times \mathbb{R}^k \to (U_j \cap U_l) \times \mathbb{R}^k, (m, v) \mapsto (m, T_{j, l} (m) v)\)はディフェオモーフィズムである: それはバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、インバース（逆）\((m, v) \mapsto (m, T_{j, l}^{-1} (m) v)\)がある: \((m, v) \mapsto (m, T_{j, l} (m) v) \mapsto (m, T_{j, l}^{-1} (m) T_{j, l} (m) v) = (m, v)\)および\((m, v) \mapsto (m, T_{j, l}^{-1} (m) v) \mapsto (m, T_{j, l} (m) T_{j, l}^{-1} (m) v) = (m, v)\); それは\(C^\infty\)である、なぜなら、\(T_{j, l} (m) v\)は\(m\)および\(v\)に関して\(C^\infty\)である; インバース（逆）\((m, v) \mapsto (m, T_{j, l}^{-1} (m) v)\),は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(T_{j, l}^{-1}\)の各コンポーネントは\(T_{j, l}\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）を\(T_{j, l}\)のデターミナント（行列式）で割ったものである、それ（デターミナント（行列式））は\(T_{j, l}\)のコンポーネントたちの非ゼロポリノミアル（多項式）である。
\(\widetilde{\phi_{m'}} \circ {\widetilde{\phi_m}}^{-1} \vert_{\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U_{m'}))}: \widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U_{m'})) \to \widetilde{\phi_{m'}} (\pi^{-1} (U_m) \cap \pi^{-1} (U_{m'}))\)はディフェオモーフィズムである: \(= \lambda \circ (\phi_{m'}, id) \circ \Phi_{j'} \circ {\Phi_j}^{-1} \circ ({\phi_{m'}}^{-1}, id^{-1}) \circ {\lambda}^{-1}\)、しかし、\(\lambda\)、\((id, \phi_{m'})\)、\(\Phi_{j'} \circ {\Phi_j}^{-1}\)、\((id^{-1}, {\phi_{m'}}^{-1})\)、\({\lambda}^{-1}\)たちはディフェオモーフィズムたちである。
したがって、私たちは、任意のセット（集合）に対して、任意のアトラス候補はカノニカル（正典）トポロジーとアトラスを決定するという命題の中の\(D\)はトポロジカルベーシス（基底）であり\(E\)は当該ベーシス（基底）を持つトポロジカルスペース（空間）であることを知っている。
\(E\)はハウスドルフであることをチェックしよう。
\(e, e' \in E\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(e \neq e'\)、としよう。
以下を満たすある\(U_m \in \{U_m\}\)、つまり、\(\pi (e), \pi (e') \in U_m\)、があるか、そうしたものはないかである。
そうしたある\(U_m\)があると仮定しよう。
\(e, e' \in \pi^{-1} (U_m)\)。
\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m)) = \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m)\)はハウスドルフであるから、\(\pi^{-1} (U_m)\)はハウスドルフである、したがって、\(e\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_e \subseteq \pi^{-1} (U_m)\)および\(e'\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{e'} \subseteq \pi^{-1} (U_m)\)で\(U_e \cap U_{e'} = \emptyset\)を満たすものたちがある。\(\pi^{-1} (U_m)\)は\(E\)のオープンサブスペース（開部分空間）であるから、\(U_e\)および\(U_{e'}\)は\(E\)のオープンサブセット（開部分集合）たちである、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
そうした\(U_m\)はないと仮定しよう。
ある\(U_m \in \{U_m\}\)で\(\pi (e) \in U_m\)を満たすものおよびある\(U_{m'} \in \{U_m\}\)で\(\pi (e') \in U_{m'}\)を満たすものがある。\(U_m \cap U_{m'} = \emptyset\)ではないかもしれない、しかし、以下を満たす、\(\pi (e)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\pi (e)} \subseteq M\)および\(\pi (e')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{\pi (e)'} \subseteq M\)、つまり、\(U_{\pi (e)} \subseteq U_m\)、\(U_{\pi (e')} \subseteq U_{m'}\)、\(U_{\pi (e)} \cap U_{\pi (e')} = \emptyset\)、がある: \(M\)はハウスドルフであるから、以下を満たす、\(\pi (e)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_{\pi (e)} \subseteq M\)および\(\pi (e')\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(V_{\pi (e)'} \subseteq M\)、つまり、\(V_{\pi (e)} \cap V_{\pi (e')} = \emptyset\)、があり、\(U_{\pi (e)} := V_{\pi (e)} \cap U_m\)および\(U_{\pi (e')} := V_{\pi (e')} \cap U_{m'}\)と取ることができる。
\(e \in \pi^{-1} (U_{\pi (e)}) \subseteq \pi^{-1} (U_m)\)および\(e' \in \pi^{-1} (U_{\pi (e')}) \subseteq \pi^{-1} (U_{m'})\)。\(\pi^{-1} (U_{\pi (e)})\)は\(\pi^{-1} (U_m)\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_{\pi (e)})) = \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_{\pi (e)})\)は\(\widetilde{\phi_m} (\pi^{-1} (U_m)) = \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m)\)のオープンサブセット（開部分集合）である。\(\pi^{-1} (U_{m'})\)は\(E\)上でオープン（開）であり、\(\pi^{-1} (U_{\pi (e)})\)は\(E\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。同様に、\(\pi^{-1} (U_{\pi (e')})\)は\(E\)上でオープン（開）である。\(\pi^{-1} (U_{\pi (e)}) \cap \pi^{-1} (U_{\pi (e')}) = \emptyset\)、なぜなら、\(U_{\pi (e)} \cap U_{\pi (e')} = \emptyset\)。
したがって、\(E\)はハウスドルフである。
したがって、\(E\)は、当該アトラスを持つ\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、である。
ステップ2:
\(\pi\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、各\(e \in E\)に対して、以下を満たすあるチャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq E, \widetilde{\phi_m})\)、つまり、\(e \in \pi^{-1} (U_m)\)、および以下を満たす当該チャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)、つまり、\(\pi (\pi^{-1} (U_m)) \subseteq U_m\)、があり、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(: (x, \phi_m (\pi (e))) \mapsto \phi_m (\pi (e))\)であるが、それは\(C^\infty\)である。
\(\Phi_j \vert_{V_p}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\(\Phi_j\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それはローカルにディフェオモーフィックでありバイジェクティブ（全単射）である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであるという命題によって: 各\(p \in \pi^{-1} (U_j)\)に対して、\(p \in \pi^{-1} (U_m)\)、しかし、\(\widetilde{\phi_m}\)はある\(\Phi_{j'}\)から構築されており\(\Phi_j\)からではないかもしれない、しかし、\(\Phi_j \vert_{\pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m)}: \pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m) \to (U_j \cap U_m) \times \mathbb{R}^k = \Phi_j \circ {\Phi_{j'}}^{-1} \vert_{(U_j \cap U_m) \times \mathbb{R}^k} \circ \Phi_{j'} \vert_{\pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m)}\)、そして、\(\Phi_{j'} \vert_{\pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m)}: \pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m) \to (U_j \cap U_m) \times \mathbb{R}^k\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、\(\Phi_{j'} \vert_{\pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m)} = ({\phi_m}^{-1}, id^{-1}) \circ \lambda^{-1} \circ \widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m)}\)、そして、\(\Phi_j \circ {\Phi_{j'}}^{-1} \vert_{(U_j \cap U_m) \times \mathbb{R}^k}: (U_j \cap U_m) \times \mathbb{R}^k \to (U_j \cap U_m) \times \mathbb{R}^k\)はディフェオモーフィズムである、したがって、\(\Phi_j \vert_{\pi^{-1} (U_j) \cap \pi^{-1} (U_m)}\)はディフェオモーフィズムである。
したがって、\(\Phi_j\)はローカルトリビアライゼーションである。
したがって、\((E, M, \pi)\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である。
ステップ3:
\(E\)の当該トポロジーおよびアトラスは\(\{(U_m \subseteq M, \phi_m)\}\)の選択に依存しないことを見よう。
任意の他の\(\{(V_n \subseteq M, \psi_n)\}\)を取ろう。
\(\{U_m \cap V_n\}\)は\(M\)をカバーする、なぜなら、\(M = M \cap M = (\cup_m U_m) \cap (\cup_n V_n) = \cup_{m, n} (U_m \cap V_n)\)。\(\{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)\}\)は\(E\)をカバーする。
各\(U_m \cap V_n\)は\(M\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\pi^{-1} (U_m \cap V_n)\)は\(E\)のオープンサブセット（開部分集合）である、両方のトポロジーたちの中で: \(\pi\)はいずれにせよコンティニュアス（連続）である。\((\pi^{-1} (U_m \cap V_n) \subseteq E, \widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)})\)および\((\pi^{-1} (U_m \cap V_n) \subseteq E, \widetilde{\psi_n} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)})\)はチャートたちである。
\(\widetilde{\psi_n} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)} \circ {\widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)}}^{-1}: \mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m \cap V_n) \to \mathbb{R}^k \times \psi_n (U_m \cap V_n) = \lambda \circ (\psi_n, id) \circ \Phi_l \circ {\Phi_j}^{-1} \circ ({\phi_m}^{-1}, id^{-1}) \circ \lambda^{-1} \vert_{\mathbb{R}^k \times \phi_m (U_m \cap V_n)}\)、それは、バイジェクティブ（全単射）で\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\lambda\)、\((\psi_n, id)\)、\(\Phi_l \circ {\Phi_j}^{-1}\)、\(({\phi_m}^{-1}, id^{-1})\)、\(\lambda\)たちは\(C^\infty\)である。インバース（逆）は\(\widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)} \circ {\widetilde{\psi_n} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)}}^{-1}\)である、それは、\(C^\infty\)である、同様に。したがって、\(\widetilde{\psi_n} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)} \circ {\widetilde{\phi_m} \vert_{\pi^{-1} (U_m \cap V_n)}}^{-1}\)はディフェオモーフィズムである。
任意のセット（集合）および任意の2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、ある共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各共通チャートに対するトランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、当該ペアたちは同一であるという命題によって、当該2つのトポロジー-アトラスペアたちは同一である。
それが意味するのは、\(E\)の当該トポロジーおよび当該アトラスは\(\{(U_m \subseteq M, \phi_m)\}\)の選択には依存しないということ。
