トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、任意のメトリック（計量）\(dist: T' \times T' \to \mathbb{R}\)によってインデュースト（誘導された）なもの
\(S\): \(\subseteq T'\)
\(T_1\): \(= S\)で、\(T'\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたもの
\(T_2\): \(= S\)で、\(T'\)のメトリックサブスペース（計量付き部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T_1 = T_2\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T_1\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_1\)を取り、\(U\)は\(T_2\)のオープンサブセット（開部分集合）であることを見る; ステップ2: \(T_2\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T_2\)を取り、\(U\)は\(T_1\)のオープンサブセット（開部分集合）であることを見る。
ステップ1:
\(U \subseteq T_1\)を\(T_1\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(U = U' \cap S\)、ここで、\(U' \subseteq T'\)は\(T'\)のオープンサブセット（開部分集合）、である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(u \in U\)を任意のものとしよう。
\(u \in U'\)であり、\(u\)の以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B'_{u, \epsilon} \subseteq T'\)、つまり、\(B'_{u, \epsilon} \subseteq U'\)、がある、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
\(B_{u, \epsilon} := B'_{u, \epsilon} \cap S \subseteq T_2\)はメトリックサブスペース（計量付き部分空間）\(T_2\)内のオープンボール（開球）である、メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義によって。
\(B_{u, \epsilon} \subseteq U' \cap S = U\)。
\(u \in U\)は恣意的であるので、\(U\)は\(T_2\)のオープンサブセット（開部分集合）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
ステップ2:
\(U \subseteq T_2\)を\(T_2\)の任意のオープンサブセット（開部分集合）とする。
\(u \in U\)を任意のものとする。
\(u\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{u, \epsilon_u} \subseteq T_2\)、つまり、\(B_{u, \epsilon_u} \subseteq U\)、ここで、\(\epsilon_u\)は、それが\(u\)に依存することを意味する、がある、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
\(B_{u, \epsilon_u} = B'_{u, \epsilon_u} \cap S\)、メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義によって。
\(U' := \cup_{u \in U} B'_{u, \epsilon_u} \subseteq T'\)を取ろう、それは\(T'\)のオープンサブセット（開部分集合）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義によって。
\(U = U' \cap S\)、なぜなら、各\(u \in U\)に対して、\(u \in U' \cap S\); 各\(u' \in U' \cap S\)に対して、\(u' \in B'_{u, \epsilon_u}\)および\(u' \in S\)、したがって、\(u' \in B'_{u, \epsilon_u} \cap S = B_{u, \epsilon_u} \subseteq U\)。
したがって、\(U \subseteq T_1\)は\(T_1\)のオープンサブセット（開部分集合）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
