セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、トポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、当該スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、任意のメトリック（計量）\(dist: T \times T \to \mathbb{R}\)によってインデュースト（誘導された）なもの
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
\(T\)があるメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）であることが肝要である、"証明"内に見られるとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T'\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つことを見る; ステップ2: \(T\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つことを見る; ステップ3: \(T\)は当該メトリックサブスペース（計量付き部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）でありセパラブル（可分）であることを見る。
ステップ1:
\(T'\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、当該スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ2:
\(T\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、任意のトポロジカルスペース（空圧式）に対して、任意のベーシス（基底）と任意のサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であるという命題によって。
ステップ3:
\(T\)は当該メトリックサブスペース（計量付き部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題によって。
したがって、\(T\)はセパラブル（可分）である、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、当該スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
