トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、当該スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で任意のメトリック（計量）\(dist: T \times T \to \mathbb{R}\)によってインデュースト（誘導された）されたもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B \in \{T \text{ に対する全てのカウンタブル（可算）ベーシス（基底）たち }\}\)
\(\iff\)
\(T \in \{\text{ 全てのセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
\(T\)があるメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものであることが肝要である、"証明"内に見られるとおり。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T\)はセパラブル（可分）であり任意のカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）\(S\)を持つと仮定する; ステップ2: 全てのラショナルナンバー（有理数）-オープンボール（開球）たちのセット（集合）\(\{B_{s_j, q} \vert s_j \in S, q \in \mathbb{Q}\}\)は\(T\)に対するカウンタブル（可算）ベーシス（基底）であることを見る; ステップ3: \(T\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(\{B_j\}\)を持つと仮定する; ステップ4: 各\(B_j\)に対して、任意の\(s_j \in B_j\)を取り、\(S := \{s_j\}\)を取り、\(S\)は\(T\)のカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）であることを見る。
ステップ1:
\(T\)はセパラブル（可分）であり任意のカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）\(S = \{s_1, s_2, ...\} \subseteq T\)を持つと仮定する。
ステップ2:
全てのラショナルナンバー（有理数）-オープンボール（開球）たちのセット（集合）\(\{B_{s_j, q} \vert s_j \in S, q \in \mathbb{Q}\}\)を取ろう。
それはカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(S\)および\(\mathbb{Q}\)はカウンタブル（可算）である: \(\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, ...\}\)とし、\(\{B_{s_j, q} \vert s_j \in S, q \in \mathbb{Q}\}\)を\(\{B_{s_1, q_1}, B_{s_1, q_2}, B_{s_2, q_1}, B_{s_1, q_3}, B_{s_2, q_2}, B_{s_3, q_1}, ...\}\)としてカウントしよう: \(B_{s_j, q_l}\)たちを第1に\(j + l\)によって次に\(j\)によって並べる。
それは\(T\)に対するベーシス（基底）であることを見よう。
\(t \in T\)を任意のものとし、\(U_t \subseteq T\)を\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(t\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{t, \epsilon} \subseteq T\)、つまり、\(B_{t, \epsilon} \subseteq U_t\)、\(t\)の周りの以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）-オープンボール（開球）\(B_{t, q} \subseteq T\)、つまり、\(B_{t, q} \subseteq B_{t, \epsilon}\)、\(t\)の周りのラショナルナンバー（有理数）-オープンボール（開球）\(B_{t, q / 2} \subseteq T\)がある。
ある\(s_j \in B_{t, q / 2} \cap S\)がある、なぜなら、\(\overline{S} = T\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(B_{s_j, q / 2}\)を取ろう。\(t \in B_{s_j, q / 2}\)、なぜなら、\(dist (t, s_j) \lt q / 2\)。\(B_{s_j, q / 2} \subseteq B_{t, q}\)、なぜなら、各\(p \in B_{s_j, q / 2}\)に対して、\(dist (p, t) \le dist (p, s_j) + dist (s_j, t) \lt q / 2 + q / 2 = q\)。
したがって、\(t \in B_{s_j, q / 2} \subseteq B_{t, q} \subseteq U_t\)。
各\(B_{s_j, q}\)は\(T\)のオープンサブセット（開部分集合）であるから、\(\{B_{s_j, q} \vert s_j \in S, q \in \mathbb{Q}\}\)は\(T\)に対するベーシス（基底）である。
ステップ3:
\(T\)はあるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(\{B_j\}\)を持つと仮定しよう。
ステップ4:
各\(B_j\)に対して、任意の\(s_j \in B_j\)を取り、\(S := \{s_1, s_2, ...\}\)を取ろう。
\(S\)は\(T\)のカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）であることを見よう。
それはカウンタブル（可算）である。
各\(t \in S\)に対して、\(U_t \subseteq T\)を\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(\{B_j\}\)はベーシス（基底）であるから、以下を満たすある\(B_j\)、つまり、\(t \in B_j \subseteq U_t\)、がある。
\(s_j \in B_j\)であるから、\(s_j \in B_j \subseteq U_t\)、それが意味するのは、\(U_t \cap S \neq \emptyset\)。
したがって、\(t \in \overline{S}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって、したがって、\(T \subseteq \overline{S}\)、しかし、\(\overline{S} \subseteq T\)であるから、\(\overline{S} = T\)。
