ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、もしも、スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、それはアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）を持たないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、それはアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）を持たないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle: V \times V \to F\)を持ち、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{\text{ 全てのセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(\lnot \exists S \in \{V \text{ の全てのアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 注
典型的には、必ずしもそうではないが、\(V\)はヒルベルトスペース（空間）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(S\)があったと仮定する; ステップ2: 各\(s \in S\)に対して、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{s, \delta} \subseteq V\)、つまり、そうしたオープンボール（開球）たちはディスジョイント（互いに素）であった、を取り、\(V\)の任意のデンス（密）サブセット（部分集合）は各オープンボール（開球）内にあるポイントを持つ必要があることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
あるアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）\(S\)があったと仮定しよう。
ステップ2:
各\(s \in S\)に対して、以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{s, \delta} \subseteq V\)、つまり、そうしたオープンボール（開球）たちはディスジョイント（互いに素）であった、を取ろう、以下のとおり。
以下を満たす各\(s, s' \in S\)、つまり、\(s \neq s'\)、に対して、\(dist (s, s') = \sqrt{\langle s - s', s - s' \rangle} = \sqrt{\langle s, s \rangle + \langle s, - s' \rangle + \langle - s', s \rangle + \langle - s', - s' \rangle} = \sqrt{1 + 0 + 0 + 1} = \sqrt{2}\)。
\(p \in B_{s, \delta}\)を任意のものとしよう、それが意味するのは、\(dist (s, p) \lt \delta\)。
\(dist (s, s') \le dist (s, p) + dist (p, s')\)、したがって、\(dist (s, s') - dist (s, p) \le dist (p, s')\)。
したがって、\(\sqrt{2} - \delta \lt dist (p, s')\)。
したがって、\(\delta = \sqrt{2} - \delta\)と取ることができる、それが意味するのは、\(\delta = \sqrt{2} / 2\)、すると、\(\delta \lt dist (p, s')\)、それが含意するのは、\(p \notin B_{s', \delta}\)。
したがって、当該オープンボール（開球）たちはディスジョイント（互いに素）である。
\(S\)はアンカウンタブル（不可算）ポイントたちを持っていたから、アンカウンタブル（不可算）オープンボール（開球）たちがあることになる。
すると、\(V\)の任意のデンス（密）サブセット（部分集合）は各\(B_{s, \delta}\)の中にあるポイントを持つ必要があることになる、なぜなら、そうでなければ、\(s\)は、当該デンス（密）サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内にいないことになる。
すると、当該デンス（密）サブセット（部分集合）はアンカウンタブル（不可算）ポイントたちを持つ必要があることになる、なぜなら、上記アンカウンタブル（不可算）オープンボール（開球）たちがあった、\(V\)がセパラブル（可分）である（あるカウンタブル（可算）デンス（密）サブセット（部分集合）を持つ）ことに反する矛盾。
ステップ3:
したがって、仮定が誤っていた、そして、\(V\)のアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はない。
