セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）、オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であるようにエクスパンド（拡張）できることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対するシャウダーベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）、任意のカウンタブル（可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）の任意の要素に対して、当該サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）で当該要素とサブセット（部分集合）要素のインナープロダクト（内積）コエフィシェント（係数）たちを持つものはコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、それはアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）を持たないという命題を認めている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であるようにエクスパンド（拡張）できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\((V, dist)\): \(= \{\text{ 全てのセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持ち、\(dist\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists B \in \{V \text{ に対する全てのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）たち }\} (S \subseteq B)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)を包含する全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）\(S'\)を取る; ステップ2: ゾーンの補題によって\(S'\)はあるマキシマル（極大）要素を持つことを見る; ステップ3: 当該マキシマル（極大）要素は\(V\)に対するオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であることを見る。
ステップ1:
任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）\(W \subseteq V\)が意味するのは、各\(w \in W\)に対して、\(\langle w, w \rangle = 1\)であり、\(w \neq w'\)である各\(w, w' \in W\)に対して、\(\langle w, w' \rangle = 0\)であること。
\(S\)を包含する全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）\(S' := \{W \subseteq V \vert S \subseteq W \land W \in \{\text{ the orthonormal subsets of } V\}\}\)を定義しよう、それは、ZFCセット（集合）理論によるウェルデファインド（妥当に定義された）セット（集合）である、なぜなら、要件\(W \in \{V \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)は、妥当なフォーミュラ\(\forall w \in W (\langle w, w \rangle = 1 \land (\forall w' \in W \setminus \{w\} (\langle w, w' \rangle = 0)))\)によって表現される。
ステップ2:
\(S' \neq \emptyset\)、なぜなら、\(S \in S'\)。
\(S'\)はゾーンの補題に対する条件たちを満たしている: 各チェイン（鎖）\(C \subseteq S'\)に対して、\(\cup C \in S'\)、なぜなら、\(C\)がチェイン（鎖）であるということが意味するのは、各\(c, c' \in C\)に対して、\(c \subseteq c'\)または\(c' \subseteq c\)であることであるところ、各\(p \in \cup C\)に対して、\(p \in c\)、ある\(c \in C\)に対して、しかし、\(c \in S'\)、したがって、\(\langle p, p \rangle = 1\); 以下を満たす各\(p, p' \in \cup C\)、つまり、\(p \neq p'\)、に対して、\(p \in c\)、ある\(c \in C\)に対して、そして、\(p' \in c'\)、ある\(c' \in C\)に対して、しかし、\(c \subseteq c'\)、一般性を失わうことなく、したがって、\(p, p' \in c'\)、しかし、\(c' \in S'\)であるから、\(\langle p, p' \rangle = 0\)、その一方で、\(S \subseteq \cup C\)。
したがって、ゾーンの補題によって、\(S'\)はあるマキシマル（極大）要素\(B \in S'\)を持つ。
ステップ3:
\(B\)は\(V\)に対するあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であることを見よう。
\(B\)はオーソノーマル（正規直交）である。
\(B\)はカウンタブル（可算）である、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、もしも、当該スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、それはアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）を持たないという命題によって、したがって、\(B = \{b_1, b_2, ...\}\)と記そう。
各\(v \in V\)に対して、\(\sum_j \langle v, b_j \rangle b_j\)はコンバージ（収束）する、任意のヒルベルトスペース（空間）、任意のカウンタブル（可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）の任意の要素に対して、当該サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）で当該要素とサブセット（部分集合）要素のインナープロダクト（内積）コエフィシェント（係数）たちを持つものはコンバージ（収束）するという命題によって。
\(v - \sum_j \langle v, b_j \rangle b_j\)は\(B\)へオーソゴーナル（直交）である、なぜなら、各\(b_l \in B\)に対して、\(\langle v - \sum_j \langle v, b_j \rangle b_j, b_l \rangle = \langle v - lim_n \sum^n_{j = 1} \langle v, b_j \rangle b_j, b_l \rangle = \langle lim_n (v - \sum^n_{j = 1} \langle v, b_j \rangle b_j), b_l \rangle = lim_n \langle v - \sum^n_{j = 1} \langle v, b_j \rangle b_j, b_l \rangle\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題および任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）による任意のネットで当該ドメイン（定義域）上の任意のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、当該ネットのイメージ（像）は当該ポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、当該コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、当該ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）は当該ポイントのイメージ（像）であるという命題によって、\(= lim_n (\langle v, b_l \rangle - \langle v, b_l \rangle) = lim_n 0 = 0\)。
注意として、\(B\)へオーソゴーナル（直交）な各\(v' \in V\)に対して、\(v' = 0\)である、なぜなら、そうでなければ、\(v'\)はノーマライズ（直交化）して\(b'\)にすることができ、\(B \cup \{b'\}\)は\(S'\)の中で\(B\)より大きい要素だということになる、\(B\)がマキシマル（極大）であることに反する矛盾。
したがって、\(v - \sum_j \langle v, b_j \rangle b_j = 0\)、それが意味するのは、\(v = \sum_j \langle v, b_j \rangle b_j\)。
したがって、各\(v \in V\)は\(v = \sum_j \langle v, b_j \rangle b_j\)と表現される。
当該分解はユニークであることを見よう（以下は、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つという命題内で行なわれたのと同じロジックである）。
第1に、各\(v = \sum_j v^j b_j\)および\(v' = \sum_j v'^j b_j\)に対して、\(v' - v = \sum_j (v'^j - v^j) b_j\)であることを見よう。
\(\Vert v' - v - \sum^n_{j = 1} (v'^j - v^j) b_j \Vert = \Vert (v' - \sum^n_{j = 1} v'^j b_j) - (v - \sum^n_{j = 1} v^j b_j) \Vert \le \Vert v' - \sum^n_{j = 1} v'^j b_j \Vert + \Vert v - \sum^n_{j = 1} v^j b_j \Vert\)、しかし、以下を満たす各\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)、に対して、以下を満たすある\(N' \subseteq \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\Vert v' - \sum^n_{j = 1} v'^j b_j \Vert \lt \epsilon / 2\)、がある、そして、以下を満たすある\(N \subseteq \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)に対して、\(\Vert v - \sum^n_{j = 1} v^j b_j \Vert \lt \epsilon / 2\)、がある、したがって、\(max (N', N)\)を取ることができ、以下を満たす各\(n \in \mathbb{N}\)、つまり、\(max (N', N) \lt n\)、に対して、\(\Vert v' - \sum^n_{j = 1} v'^j b_j \Vert + \Vert v - \sum^n_{j = 1} v^j b_j \Vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)、したがって、\(\Vert v' - v - \sum^n_{j = 1} (v'^j - v^j) b_j \Vert \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(v' - v = \sum_j (v'^j - v^j) b_j\)。
第2に、\(v = \sum_j v^j b_j = 0\)は\(v^j = 0\)を含意することを見よう。
もしも、\(v^l \neq 0\)である場合、\(\langle v, b_l \rangle = \langle \sum_j v^j b_j, b_l \rangle = \langle lim_n \sum^n_{j = 1} v^j b_j, b_l \rangle = lim_n \langle \sum^n_{j = 1} v^j b_j, b_l \rangle = lim_n \sum^n_{j = 1} v^j \langle b_j, b_l \rangle = lim_n \sum^n_{j = 1} v^j \delta_{j, l} = lim_n v^l \neq 0\)、\(v = 0\)に反する矛盾: \(\langle 0, b_l \rangle = c\)に対して、\(\langle 0, b_l \rangle = \langle 0 + 0, b_l \rangle = \langle 0, b_l \rangle + \langle 0, b_l \rangle = c + c = 2 c = c\)、したがって、\(c = 0\)。
さて、もしも、ある\(v = \sum_j v^j b_j\)がある場合、\(0 = v - v = \sum_j (v^j - \langle v, b_j \rangle) b_j\)、それが含意するのは、\(v^j = \langle v, b_j \rangle\)。
したがって、\(B\)はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）である。
3: 注
本命題を適用できるある典型的なケースは、\(V\)のあるヒルベルトサブスペース（部分空間）がある（\(V\)の任意のクローズドサブスペース（閉部分空間）はそうである、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であるという命題によって）、それは、不可避にセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）である、任意のセパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）であるという命題によって、したがって、当該サブスペース（部分空間）に対するあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を取ることができる、任意のセパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つという命題によって、そして、それは、\(V\)に対するあるオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）となるようにエクスパンド（拡張）できる、本命題によって。
