ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、サブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブスペース（部分空間）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、任意のサブスペース（部分空間）に対して、当該サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブスペース（部分空間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{V} \in \{V' \text{ の全てのベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 各\(v'_1, v'_2 \in \overline{V}\)に対して、\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2 \in \overline{V}\)であることを見る; ステップ1: \(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2} \subseteq V'\)および\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon}\)、つまり、\(B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon} \subseteq N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2}\)、を取る; ステップ2: \(v'_1\)の周りのあるオープンボール（開球）\(B_{v'_1, \delta}\)および\(v'_2\)の周りのあるオープンボール（開球）\(B_{v'_2, \delta}\)を取り、任意の\(v_1 \in B_{v'_1, \delta} \cap V\)および任意の\(v_2 \in B_{v'_2, \delta} \cap V\)を取り、以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(r'_1 v_1 + r'_2 v_2 \in B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon}\)、を選ぶ。
ステップ1:
\(v'_1, v'_2 \in \overline{V}\)および\(r'_1, r'_2 \in F\)を任意のものたちとしよう。
私たちの意図は、\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2 \in \overline{V}\)であることを見ることである、なぜなら、そうであれば、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(\overline{V}\)はベクトルたちサブスペース（部分空間）であることになる。
\(r'_1 = r'_2 = 0\)である時、\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2 = 0 \in V \subseteq \overline{V}\)。
\(r'_1 \neq 0\)または\(r'_2 \neq 0\)であると仮定しよう、これ以降は。
\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2\)の任意のネイバーフッド（近傍）を\(N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2} \subseteq V'\)としよう。
\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2\)の周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon} \subseteq V'\)、つまり、\(B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon} \subseteq N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2}\)、がある。
ステップ2:
\(v'_1\)の周りのあるオープンボール（開球）\(B_{v'_1, \delta} \subseteq V'\)を取ろう、ここで、\(\delta\)は後で決定される。
\(v'_2\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{v'_2, \delta} \subseteq V'\)を取ろう。
\(v'_1 \in \overline{V}\)であるから、以下を満たすある\(v_1 \in V\)、つまり、\(v_1 \in B_{v'_1, \delta}\)、がある、なぜなら、\(B_{v'_1, \delta} \cap V \neq \emptyset\)。
\(v'_2 \in \overline{V}\)であるから、以下を満たすある\(v_2 \in V\)、つまり、\(v_2 \in B_{v'_2, \delta}\)、がある、なぜなら、\(B_{v'_2, \delta} \cap V \neq \emptyset\)。
私たちの意図は、以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(r'_1 v_1 + r'_2 v_2 \in B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon}\)、を選ぶことである、なぜなら、\(r'_1 v_1 + r'_2 v_2 \in V\)でありそれは\(B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon} \cap V \neq \emptyset\)を意味することになる。
\(\langle r'_1 v_1 + r'_2 v_2 - (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2), r'_1 v_1 + r'_2 v_2 - (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) \rangle = \langle r'_1 (v_1 - v'_1) + r'_2 (v_2 - v'_2), r'_1 (v_1 - v'_1) + r'_2 (v_2 - v'_2) \rangle = \vert r'_1 \vert^2 \langle v_1 - v'_1, v_1 - v'_1 \rangle + \vert r'_2 \vert^2 \langle v_2 - v'_2, v_2 - v'_2 \rangle + r'_1 \overline{r'_2} \langle v_1 - v'_1, v_2 - v'_2 \rangle + r'_2 \overline{r'_1} \langle v_2 - v'_2, v_1 - v'_1 \rangle \le \vert r'_1 \vert^2 \langle v_1 - v'_1, v_1 - v'_1 \rangle + \vert r'_2 \vert^2 \langle v_2 - v'_2, v_2 - v'_2 \rangle + \vert r'_1 \overline{r'_2} \langle v_1 - v'_1, v_2 - v'_2 \rangle \vert + \vert r'_2 \overline{r'_1} \langle v_2 - v'_2, v_1 - v'_1 \rangle \vert = \vert r'_1 \vert^2 \langle v_1 - v'_1, v_1 - v'_1 \rangle + \vert r'_2 \vert^2 \langle v_2 - v'_2, v_2 - v'_2 \rangle + \vert r'_1 \vert \vert r'_2 \vert \vert \langle v_1 - v'_1, v_2 - v'_2 \rangle \vert + \vert r'_2 \vert \vert r'_1 \vert \vert \langle v_2 - v'_2, v_1 - v'_1 \rangle \vert = \vert r'_1 \vert^2 \langle v_1 - v'_1, v_1 - v'_1 \rangle + \vert r'_2 \vert^2 \langle v_2 - v'_2, v_2 - v'_2 \rangle + 2 \vert r'_1 \vert \vert r'_2 \vert \vert \langle v_1 - v'_1, v_2 - v'_2 \rangle \vert\)。
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(\vert \langle v_1 - v'_1, v_2 - v'_2 \rangle \vert \le \sqrt{\langle v_1 - v'_1, v_1 - v'_1 \rangle} \sqrt{\langle v_2 - v'_2, v_2 - v'_2 \rangle}\)。
したがって、\(\langle r'_1 v_1 + r'_2 v_2 - (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2), r'_1 v_1 + r'_2 v_2 - (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) \rangle \lt \vert r'_1 \vert^2 \delta^2 + \vert r'_2 \vert^2 \delta^2 + 2 \vert r'_1 \vert \vert r'_2 \vert \delta^2 = \delta^2 (\vert r'_1 \vert^2 + \vert r'_2 \vert^2 + 2 \vert r'_1 \vert \vert r'_2 \vert)\)。
したがって、以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(\delta^2 (\vert r'_1 \vert^2 + \vert r'_2 \vert^2 + 2 \vert r'_1 \vert \vert r'_2 \vert) \lt \epsilon^2\)、を選ぼう、したがって、\(\delta^2 \lt \epsilon^2 / (\vert r'_1 \vert^2 + \vert r'_2 \vert^2 + 2 \vert r'_1 \vert \vert r'_2 \vert)\)、それは可能である。
すると、\(\langle r'_1 v_1 + r'_2 v_2 - (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2), r'_1 v_1 + r'_2 v_2 - (r'_1 v'_1 + r'_2 v'_2) \rangle \lt \epsilon^2\)、それが意味するのは、\(r'_1 v_1 + r'_2 v_2 \in B_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2, \epsilon} \subseteq N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2}\)、それが意味するのは、\(r'_1 v_1 + r'_2 v_2 \in N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2} \cap V\)、それが意味するのは、\(N_{r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2} \cap V \neq \emptyset\)。
したがって、\(r'^1 v'_1 + r'^2 v'_2 \in \overline{V}\)。
したがって、任意のベクトルたちスペース（空間）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）の任意の非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、当該サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(\overline{V}\)は\(V'\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
