\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( m\): \(\in M\)
\( T_mM\): \(= m \text{ におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間） }\)
\( q\): \(\in \mathbb{N}\)
\( \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該 } q \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)
\( f\): \(: T^0_q (T_mM) \to L (T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\), \(= \text{ 当該カノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\(*\Lambda_q (T_mM)\): \(= f^{-1} (\Lambda_q (T_mM: \mathbb{R}))\)、\(q \neq 0\)である時; \(= \mathbb{R}\)、\(q = 0\)である時、\(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
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コンディションた:
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2: 注
別の定義は、"\(\Lambda_q (T_mM) := \Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)"と定義する、しかし、それは、\(\Lambda_q (T_mM)\)を\(T^0_q (T_mM)\)のサブスペース（部分空間）ではなくしてしまう、なぜなら、私たちは\(T^0_q (T_mM) := T_mM^* \otimes ... \otimes T_mM^*\)と定義したのであって、\(= L (T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\)ではない。
\(T_mM\)は\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に示されているとおり、そして、\(\Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)は本当に\(L (T_mM, ..., T_mM: \mathbb{R})\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である、フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）テンソルたちスペース（空間）の定義に対する"注"内に示されているとおり。したがって、\(f^{-1} (\Lambda_q (T_mM: \mathbb{R}))\)は\(T^0_q (T_mM)\)のベクトルたちサブスペース（部分空間）である。
\(\Lambda_q (T_mM)\)は\(\Lambda_q (T_mM: \mathbb{R})\)へカノニカル（正典）に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、そして、とても頻繁に、当該2個のスペース（空間）たちは暗黙的に同一視される、当該アイソモーフィズム（同形写像）によって、それが、\(\Lambda_q (T_mM)\)が"\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）"と呼ばれる理由である。
\(\Lambda_0 (T_mM) = T^0_0 (T_mM)\)。
\(\Lambda_1 (T_mM) = T^0_1 (T_mM)\)、なぜなら、\(T^0_1 (T_mM)\)の各要素はアンチシンメトリック（反対称）である。
