トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）上のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでスペース（空間）上でコンバージする（収束する）ものに対して、コンバージェンス（収束ポイント）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）上の任意のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットで当該スペース（空間）上でコンバージする（収束する）ものに対して、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(D\): \(\in \{\text{ 全てのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(N\): \(: D \to T\), \(N (D) \subseteq S\)
\(p\): \(\in T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(N\)は\(p\)へコンバージする（収束する）
\(\implies\)
\(p \in \overline{S}\).
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(p \notin \overline{S}\)だと仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(N\)は\(p\)へコンバージする（収束する）と仮定しよう。
\(p \notin \overline{S}\)であったと仮定しよう。
クロージャー（閉包）のあるローカルキャラクタライゼーション: 任意のトポロジカルスペース（空間）上の任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、当該ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってによって、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(N_p \subseteq T\)、つまり、\(N_p \cap S = \emptyset\)、があることになる。
しかし、以下を満たすあるインデックス\(j_0 \in D\)、つまり、\(j_0 \leq j\)を満たす各\(j \in D\)に対して\(N (j) \in N_p\)、があることになる、しかし、\(N (j) \in S\)、それが意味することになるのは、\(N_p \cap S \neq \emptyset\)、矛盾。
したがって、\(p \in \overline{S}\)。
