ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_j \vert j \in J\}\): \(T_j \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(= \coprod_{j \in J} T_j\)
\(\{S_j \subseteq T_j \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{\coprod_{j \in J} S_j} = \coprod_{j \in J} \overline{S_j}\)、ここで、第1のオーバーラインは\(T\)上のクロージャー（閉包）であり、第2オーバーラインは\(T_j\)上のクロージャー（閉包）である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\overline{\coprod_{j \in J} S_j} \subseteq \coprod_{j \in J} \overline{S_j}\)であることを見る; ステップ2: \(\coprod_{j \in J} \overline{S_j} \subseteq \overline{\coprod_{j \in J} S_j}\)であることを見る。
ステップ1:
\(\coprod_{j \in J} S_j \subseteq \coprod_{j \in J} \overline{S_j}\)、そして、右辺は\(T\)上でクローズド（閉）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって。
したがって、\(\overline{\coprod_{j \in J} S_j} \subseteq \coprod_{j \in J} \overline{S_j}\)、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義によって。
ステップ2:
\(p \in \coprod_{j \in J} \overline{S_j}\)を任意のものとしよう。
\(p \in \overline{S_j}\)、ある\(j\)に対して。
\(U_p \subseteq T\)を\(p\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
\(U_p \cap T_j\)は\(T_j\)上でオープン（開）である、ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義によって、そして、\(p \in U_p \cap T_j\)。
したがって、\(U_p \cap T_j\)は\(p\)の\(T_j\)上におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(U_p \cap T_j \cap S_j \neq \emptyset\)、なぜなら、\(p \in \overline{S_j}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(U_p \cap \coprod_{j \in J} S_j \neq \emptyset\)。
したがって、\(p \in \overline{\coprod_{j \in J} S_j}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(\coprod_{j \in J} \overline{S_j} \subseteq \overline{\coprod_{j \in J} S_j}\)。
したがって、\(\overline{\coprod_{\alpha \in A} S_\alpha} = \coprod_{\alpha \in A} \overline{S_\alpha}\)。
